Some relations between substitution group properties and abstract groups. (Q1485839)

(Siehe JFM 41.0174.01) Es sei \({\mathfrak G}\) eine endliche Gruppe der Ordnung \(g\) und \({\mathfrak H}\) eine Untergruppe von \({\mathfrak G}\), deren Ordnung \(h =\frac{g}{n}\) ist. Durchläuft dann \(S\) alle Elemente von \({\mathfrak G}\), so sind bekanntlich unter den Komplexen \({\mathfrak H}S\), und ebenso unter den Komplexen \(S{\mathfrak H}\), nur \(n\) voneinander verschieden. Durch Betrachtung der mit der Gruppe \({\mathfrak G}\) homomorphen transitiven Permutationsgruppe \({\mathfrak K}\), die aus den Vertauschungen der \(n\) verschiedenen Komplexe der Form \({\mathfrak H}S\) besteht, beweist der Verf. den Satz: Man kann stets in der Gruppe \({\mathfrak G}\) Elemente \(S_1,S_2,\dots,S_n\) so wählen, daß \({\mathfrak G}={\mathfrak H}S_1+{\mathfrak H}S_2+\cdots+{\mathfrak H}S_n=S_1{\mathfrak H}+S_2{\mathfrak H}+\cdots+S_n{\mathfrak H}\) wird. In der zweiten Arbeit zeigt der Verf., daß man aus den Eigenschaften der beiden abstrakten Gruppen \({\mathfrak G}\) und \({\mathfrak H}\) einige Folgerungen über die Transitivität der Permutationsgruppe \({\mathfrak K}\) ziehen kann. Insbesondere wird bewiesen: Die Gruppe \({\mathfrak K}\) ist dann und nur dann mehrfach transitiv, wenn für je zwei Elemente \(S\) und \(T\) der Gruppe \({\mathfrak G}\), die nicht in \({\mathfrak H}\) enthalten sind, die Komplexe \({\mathfrak H}S\) und \(T{\mathfrak H}\) mindestens ein Element gemeinsam haben. Ist ferner \({\mathfrak K}_1\) diejenige Untergruppe von \({\mathfrak K}\), deren Permutationen ein Vertauschungssymbol ungeändert lassen, und besitzt \({\mathfrak K}_1\) genau \(k\) Systeme der Transitivität von je \(n_1\) Vertauschungssymbolen, so enthält die Gruppe \({\mathfrak G}\) genau \(kn_1h\) Elemente \(S\), für die der größte gemeinsame Divisor der beiden Gruppen \({\mathfrak H}\) und \(S^{-1}{\mathfrak H}S\) von der Ordnung \(h/n_1\) ist. -- Diese beiden Resultate sind nicht neu; sie sind als spezielle Fälle in den Sätzen enthalten, die \textit{Frobenius} in seiner Arbeit ``Über die Kongruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul'' (J. für Math. 101, 273, 1887) aufgestellt hat.