Multiply transitive groups of transformations of complete sets of conjugates. (Q1485847)

(Siehe JFM 41.0176.03) Eine endliche Gruppe \({\mathfrak G}\) möge \(n\) (konjugierte) \textit{Sylow}sche Untergruppen \({\mathfrak P}_1,{\mathfrak P}_2,\dots,{\mathfrak P}_n\) der Ordnung \(p^m\) enthalten. Die Permutationen, welche diese \(n\) Untergruppen erleiden, wenn sie vermittelst der einzelnen Elemente der Gruppe \({\mathfrak G}\) transformiert werden, bilden dann bekanntlich eine mit \({\mathfrak G}\) homomorphe transitive Gruppe \({\mathfrak K}\) des Grades \(n\). Der Verf. beweist den Satz: Ist die Gruppe \({\mathfrak K}\) imprimitiv, so muß \(n\) eine Zahl der Form \((1+k_1p^a)(1+k_2p^a)\) sein, wo \(k_1,k_2\) positive Zahlen sind und \(\alpha\) dadurch charakterisiert ist, daß \(p^{m-\alpha}\) die größte Anzahl gemeinsamer Elemente angibt, die in zwei verschiedenen unter den \(n\) Gzuppen \({\mathfrak P}_{\nu}\) enthalten sind. Es wird ferner gezeigt: Die Ordnung \(h\) der durch \({\mathfrak P}_1,{\mathfrak P}_2,\dots,{\mathfrak P}_n\) erzeugten Gruppe ist für \(n=3\) gleich \(3\cdot2^m\), für \(n=4\) entweder gleich \(4\cdot3^m\) oder gleich \(8\cdot3^m\); wird \(n=6\), so kommen für \(h\) nur die beiden Werte \(12\cdot5^m\) und \(24\cdot5^m\) in Betracht. In der zweiten Arbeit beweist der Verf., daß die den \textit{Sylow}schen Untergruppen \({\mathfrak P}_1,{\mathfrak P}_2,\dots,{\mathfrak P}_n\) entsprechende Permutationsgruppe \({\mathfrak K}\) niemals mehr als dreifach transitiv sein kann; er gibt auch eine Verallgemeinerung dieses Satzes an. An Beispielen wird gezeigt, daß der Grad der Transitivität der Gruppe \({\mathfrak K}\) jeden der Werte 1, 2 und 3 wirklich annehmen kann. Ist dieser Grad gleich 3, so muß \(p>2\) sein; auß erdem müssen die Untergruppen der Ordnung \(p^n\) von \({\mathfrak K}\) \textit{Abel}sche Gruppen vom Typus (1, 1, ...) sein.