La structure des groupes de transformations continus et la théorie du trièdre mobile. (Q1485864)

In seiner Theorie der Struktur der unendlichen kontinuierlichen Gruppen (F. d. M. 35, 176, 1904, JFM 35.0176.04 u. 36, 223, 1905, JFM 36.0223.03) hat der Verf. gezeigt, daß jede transitive kontinuierliche Gruppe nach Hinzunahme gewisser Hülfsveränderlichen durch ein System von \textit{Pfaff}schen Ausdrücken charakterisiert werden kann. Der Verf. beschränkt sich hier auf endliche Gruppen, bei denen alles insofern einfacher ist, als die betreffenden \textit{Pfaff}schen Ausdrücke alle invariant bleiben. Er bemerkt, daß im Falle der Gruppe der euklidischen Bewegungen 6 \textit{Pfaff}sche Ausdrücke auftreten, die nichts anderes sind als die Komponenten einer unendlich kleinen Verschiebung des bekannten Trieders, diese genommen in Bezug auf das Trieder selbst. Er zeigt nunmehr, wie man durch Einführung einer geeigneten Terminologie für jede endliche kontinuierliche Gruppe etwas ganz Ähnliches machen kann. Kennt man die endlichen Transformationen der Gruppe, so gewinnt man auf diese Weise sehr leicht die infinitesimalen Transformationen und die erwähnten invarianten \textit{Pfaff}schen Ausdrücke. Man gelangt hiermit zugleich zu der Auffassung des Begriffs der Struktur, die es dem Verf. ermöglicht hat, diesen Begriff auf die unendlichen Gruppen zu übertragen. Doch begnügt sich der Verf. hier mit einigen Bemerkungen über die Integration der zu einer endlichen Gruppe assoziierten Systeme von Differentialgleichungen, die \textit{Vessiot} als \textit{Lie}sche Systeme bezeichnet hat; insbesondere bespricht er die Integrationsvereinfachungen, die eintreten, wenn man zwei \textit{Lie}sche Systeme zu integrieren hat, die zu zwei isomorphen Gruppen gehören. Schließlich zeigt er an dem Beispiele der Gruppe der euklidischen Bewegungen, wie man unter Benutzung jener \textit{Pfaff}schen Ausdrücke und der zwischen diesen bestehenden Beziehungen, die die Struktur der Gruppe ausdrücken eine allgemeine Äquivalenztheorie gegenüber der Gruppe entwickeln kann. Er entwickelt die Äquivalenztheorie der Flächen gegenüber der Gruppe der euklidischen Bewegungen und gelangt dabei auch zu allerhand bemerkenswerten Ergebnissen. Das Bemerkenswerteste ist, daß hier einzig und allein aus den Relationen, die die Struktur der Gruppe bestimmen, die einzelnen Klassen von gegenüber der Gruppe äquivalenten Flächen charakterisiert und vollständig aufgezählt werden. Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe braucht man erst, wenn man für jede dieser Klassen einen Repräsentanten aufstellen will, was dann noch die Integration eines \textit{Lie}schen Systems von Differentialgleichungen erfordert.