Über einige unendliche Gruppen von orientierten Berührungstransformationen in der Ebene. (Q1485865)

Es wird die Gruppe aller (orientierten) Berührungstransformationen der euklidischen Ebene aufgestellt, die (gleichsinnig) parallele Kurven (Vereine) wieder in solche überführen und dabei die Entfernungen der Parallelkurven ungeändert lassen. Mit jeder Berührungstransformation \(E\to E^*\) der dadurch definierten unendlichen Gruppe ist eine Transformation \(N\to N^*\) der (orientierten) Normalen \(N\) der (orientierten) Linienelemente \(E\) verbunden, die \textit{umfangstreu im weitern Sinn} genannt wird. Diese Benennung hat folgenden Grund. Ist \(u\) der Umfang einer geschlossenen Kurve und \(2\lambda\pi\) ihre Totalkrümmung, so geht sie durch die Abbildung \(N \to N^*\) wieder in eine geschlossene Kurve über, deren Umfang bei geeigneten Vorzeichenbestimmungen den Wert \(u^*=u+\lambda u_0\) hat, wobei \(u_0\) eine Konstante bedeutet. Fügt man zur Transformation \(N\to N^*\) eine Dilatation (Paralleltransformation) hinzu, so kann man erreichen, daß für die entstehende umfangstreue Transformation die Konstante \(u_0\) den Wert Null hat, daß also diese Abbildung \textit{umfangstreu im engern Sinn} ausfällt. Auf diese Berührungstransformationen, die die charakteristische Eigenschaft haben, die Umfänge geschlossener Kurven invariant zu lassen, und die notwendig die Geraden der Ebene (wegen ihrer Eigenschaft als geodätische Linien) untereinander vertauschen, hat zuerst \textit{E. Study} in einer kurzen Anmerkung hingewiesen (F. d. M. 36, 735, 1905, JFM 36.0735.01). In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß man die (orientierten) Geraden der Ebene derart auf die Punkte eines Drehzylinders durch eine einfache geometrische Konstruktion abbilden kann, daß dabei den flächentreuen Punkttransformationen auf dem Zylinder die im weiteren Sinne umfangstreuen Geradentransformationen in der Ebene entsprechen. Schließlich werden solche Berührungstransformationen betrachtet, welche die von \textit{Minkowski} eingeführten Kurven konstanter Breite untereinander vertauschen.