Über den Zusammenhang zwischen den Determinanten von \textit{Gram} und \textit{Wronski}. (Q1485879)

Bezeichnet man mit \((rs)\) das Integral \((rs)=\int_a^b f_r(x)f_s(x)dx\) so ist das Verschwinden der \textit{Gram}schen Determinante \[ G=\left|\begin{matrix} (11) & (12) & \cdots & (1n) \\ (21) & (22) & \cdots & (2n) \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ (n1) & (n2) & \cdots & (nn) \end{matrix}\right| \] eine notwendige und hinreichende, das Verschwinden der \textit{Wronski}schen Determinante \[ W=\left|\begin{matrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f^\prime_1 & f^\prime_2 & \cdots & f^\prime_n \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{matrix} \right| \] in allen Punkten des Intervalls \((a,b)\) dagegen nur eine notwendige Bedingung für die lineare Abhängigkeit der Funktionen \(f_1,f_2,\dots,f_n\) im Intervall \((a,b)\). Zwischen den beiden Determinanten besteht nun, wie hier gezeigt wird, der einfache Zusammenhang: \[ \lim_{b=a}\frac{G(h)}{(b-a)^{m^2}}=\frac{[W(h)]^2}{1^1\cdot 2^2\cdots(m-1)^{m-1}m^m(m+1)^{m-1}\cdots(2m-1)}, \] wo \(h\) jeden beliebigen Wert des Intervalls \((a,b)\) bedeutet.