Über die charakteristische Eigenschaft rationaler Zahlen. (Q1485940)

Es werden zwei Sätze bewiesen: 1. Ist \(x=a/b\) rational, wo \(a/b\) ein irreduzibler Bruch ist, so ist \[ \lim_{m=\infty} \frac{1}{n}\,\sum{k=1}^n (kx-Ekx)=\frac{b-1}{2b}. \] 2. Ist \(x\) irrational, dann ist \[ \lim_{n=\infty}\frac{1}{n}\,\sum_{k=1}^n(kx-Ekx)=\frac 12. \] Aus diesen zwei Sätzen folgt unmittelbar die notwendige und hinreichende Bedingung der Rationalität von \(x\), nämlich \[ \lim_{n=\infty} \frac{r_1+r_2+\cdots +r_n}{n}<\frac 12, \] wo \(r=kx-Ekx\). (Vgl. F. d. M. 40, 221, 1909, JFM 40.0221.01)