On the roots of congruences of Fermat and Euler in connection with the period of periodical systematical fractions. (Q1486008)

In dem ersten Teil dieses Aufsatzes werden die Zahlenkongruenzen mit Primzahlmodul \(n\) besprochen, insbesondere die \textit{Fermat}sche Kongruenz \(x^{n-1}-1\equiv 0 (\text{mod}.\,n)\) und allgemeiner die Kongruenzen von der Form \(x^q -1\equiv 0 (\text{mod}.\,n)\). Gezeigt wird, wie die Kongruenz der primitiven Wurzeln von \(n\) gebildet werden kann, während noch zwei andere Beweise der Existenz primitiver Wurzeln mitgeteilt werden. Sodann werden die Binomialkongruenzen und die Potenzreste, insbesondere die quadratischen Reste, behandelt (das \textit{Euler}sche und das \textit{Gauß }sche Kriterium der quadratischen Reste, usw.). Von den verschiedenen Eigenschaften werden mehrere Anwendungen auf die Perioden periodischer Dezimalbrüche und periodischer systematischer Brüche in einem beliebigen Ziffernsystem gemacht. In dem zweiten Teil werden die Zahlenkongruenzen mit zusammengesetztem Modul \(n\) besprochen, wobei die \textit{Euler}sche Kongruenz \(x^{\varphi(n)}-1\equiv 0 (\text{mod}.\,n)\) im Mittelpunkt der Untersuchung steht. Die kleinste Zahl \(m\) wird bestimmt, für welche die Kongruenz \(x^m-1\equiv 0 (\text{mod}.\,n)\) durch jede mit \(n\) teilerfremde Zahl \(x\) erfüllt ist. Hieraus läßt sich sofort ablesen, für welche Moduli die Beziehung \(m=\varphi(n)\) besteht, also welche Zahlen primitive Wurzeln haben. Fortsetzung folgt.