Über die Bedeutung einiger neuen Grenzwertsätze der Herren \textit{Hardy} und \textit{Axer}. (Q1486058)

Der Satz von \textit{Hardy} ist der folgende: Es sei \(a_n(n=1,2,\dots)\) eine Folge reeller Größen, für die, wenn \(\sum_{m=1}^n a_m=s_n\) gesetzt wird, der Limes existiert: \[ \lim_{n=\infty}\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=s. \] Es sei ferner \(| na_n|\leqq c\), wo \(c\) eine endliche, von \(n\) unabhängige Größe ist. Dann konvergiert die Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim_{n=\infty}s_n=s. \] Der \textit{Axer}sche Satz ist der vorstehend angegebene. Der Verf. erweitert den \textit{Hardy}schen Satz, indem er die \(a_n\) nur der Bedingung \(na_n\geqq-c\) unterwirft. Mit Hülfe dieser beiden Sätze kann der gegenseitige Zusammenhang der drei Formeln völlig klargelegt werden: \[ \begin{aligned} &\sum_{p\leqq x} \text{lg} p=x+o(x), \\ &\sum_{p\leqq x} \frac{\text{lg} p}{p}=\text{lg} x+E+o(1)\quad (E\;\text{eine absolute Konst.}), \\ &x\sum_{p\leqq x}\frac{\text{lg} p}{p}-\sum_{p\leqq x}\text{lg} p=x\text{lg} x+(E-1)x+o(x). \end{aligned} \] (Über \(o(\varphi(x))\) siehe die \textit{Axer}sche Arbeit, Referat vorstehend.)