Über die Konstruktion der Klassenkörper reeller quadratischer Körper mit Hülfe von automorphen Funktionen. (Q1486065)

Dem Verf. ist es gelungen, gewisse Modulfunktionen von zwei Variablen zu finden, die in bezug auf einen \textit{Dirichlet}schen Körper \(K(\sqrt{m},\sqrt{-m})\) eine ähnliche Rolle spielen wie die elliptischen Modulfunktionen in bezug auf einen imaginären Körper \(K(\sqrt{m})(m<0)\). In der vorliegenden Notiz gibt der Verf. die Resultate an, die er gefunden hat, indem er das Problem von einer andern Seite, nämlich von der \textit{Kronecker}schen Grenzformel eines Körpers \(K(\sqrt{m},\sqrt{-m})\) aus in Angriff genommen hat. Sind \(x_1,x_2\) zwei komplexe Variabeln, \(x^\prime_1,x^\prime_2\) ihre konjugierten (\(x_1\) und \(x^\prime_1\) mit \textit{positivem} Imaginärteil), so lautet dieselbe \[ \begin{aligned} & \lim_{s=1} \left(\sum_{\alpha,\beta}\frac{1}{(\alpha+\beta x_1)^s(\alpha+\beta x_2)^s(\alpha'+\beta'x^\prime_1)^s(\alpha'+\beta'x^\prime_2)^s}-\frac{M}{(s-1)(x_1-x_2)(x^\prime_1-x^\prime_2)}\right)\\ &=A+\frac{B+C\text{lg}(x_1-x_2)(x_1'-x_2')}{(x_1-x_2)(x_1'-x_2')}+\frac{16\pi^2}{\Delta (x_1-x_2)(x_1'-x_2')}\\ &\times[F(x_1x_1')+F(-x_2,-x_2')+F(\varepsilon x_1,\varepsilon'x_2')+F(-\varepsilon x_2,-\varepsilon'x_1')],\end{aligned} \] wo die Summe über alle Zahlen \(\alpha\) eines Ideals \({\mathfrak a}\) von \(k(\sqrt{| m|}\) und über alle total positiven Zahlen \(\beta\) eines Ideals \({\mathfrak b}\), die sich nicht bloß um eine Einheit unterscheiden, zu nehmen ist. \(\varepsilon\) ist die Grundeinheit von \(H(\sqrt{| m|})\) nach Annahme mit einer Norm -1, und für \(F\) gilt die \textit{Fourier} entwicklung \[ F(\varepsilon x,\varepsilon'z')=\sum_{\beta,\mu}\frac{1}{\beta \cdot \beta'}e^{2\pi i\,\frac{\beta\mu'x-\beta'\mu x'}{\Delta}}, \] wo \(\beta\) dieselben Zahlen wie vorhin, \(\mu\) alle total positiven Zahlen von \({\mathfrak a}\) durchläuft.