Sopra due problemi di calcolo di probabilità. (Q1486114)

I. ``Ein Spieler A, der \(m\) Mark besitzt, spielt mit einem anderen B, Besitzer von \(n\) Mark, eine beliebige Anzahl von Partien in irgendeinem Spiele, bei welchem die Wahrscheinlichkeit für A, in einer einzelnen Partie zu gewinnen, jedesmal \(p\) ist und sein Einsatz \(a\) Mark, dagegen für B die Wahrscheinlichkeit \(q\) (also \(p + q = 1\)) und der Einsatz \(b\) Mark. Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit, daß A den B ruiniert, d. h. so weit bringt, daß dieser das Spiel nicht mehr fortsetzen kann, weil er bei weiterem Verluste nicht mehr imstande ist, der Verpflichtung nachzukommen, die ausgemachten \(b\) Mark an A zu zahlen.'' Diese Aufgabe, die schon von \textit{Moivre} behandelt ist, wird von \textit{Bertrand}, Calcul des probalilitiés in Nr. 91 als Problem XLIX, wie bei \textit{Moivre}, in dem Falle \(a = b = 1\) auf die Integration einer linearen Differenzengleichung von der Ordnung \(a + b\) zurückgeführt, deren Integral bekanntlich \(a + b\) willkürliche Konstanten einschließt. Die Lösung von \textit{Moivre} und von \textit{Bertrand} entspricht dem Falle, daß \(a+b-2\) dieser Konstanten Null sind, und daß die beiden übrigen den offensichtlichsten Bedingungen der Aufgabe entsprechend bestimmt werden. -- Die Nullsetzung von \(a+b-2\) Konstanten ist aber nicht gerechtfertigt und nicht im Einklange mit der Eigenart der Aufgabe, die bei näherer Betrachtung alle Bedingungen zur Bestimmung der sämtlichen \(a + b\) Konstanten liefert. Dies berücksichtigend, löst der Verf. die Aufgabe vollständig und gelangt so zum Ausdruck der verlangten Wahrscheinlichkeit durch Anwendung der Methode der erzeugenden Funktionen von \textit{Laplace}. Die entsprechende Aufgabe in dem Falle von drei oder mehr Spielern ist bisher noch nicht bearbeitet worden. Die Abhandlung zeigt, auf welchem Wege die Lösung erhalten wird; diese ist ihrer Natur nach recht verwickelt und wird in einem besonderen Falle für drei Spieler hergeleitet. II. Die Daten der ersten Aufgabe sind dieselben. Es wird der wahrscheinliche Wert für die Anzahl der Partien gesucht, die gespielt werden vor dem Ruin des einen oder des anderen Spielers. Diese Aufgabe ist von \textit{Rouché} gelöst worden, von \textit{Bertrand} in dem angeführten Werke abermals behandelt. Für sie gelten ähnliche Betrachtungen wie für die erste; daher ist ihre Lösung in entsprechender Weise entwickelt.