The ordinal-relations of the terms of a convergent sequence. (Q1486151)

Eine gegebene Zahlenfolge \((a_n)\) sei so beschaffen, daß man für irgend zwei Indizes \(p\) und \(q\) stets zu sagen vermag, ob \(ap\lesseqqgtr a_q\) ist. Hierfür werde der Ausdruck gebraucht: man kennt die Größenbeziehungen der Folge. \textit{Hardy} stellt sich nun das Problem: Inwieweit ist es möglich, auf Grund der Kenntnis der Größenbeziehungen zu sagen, ob die Folge \((a_n)\) konvergiert oder nicht. Oder: durch welche Größenbeziehungen sind die konvergenten Folgen charakterisiert? Die Folgen, bei denen für jedes \(n\) nur endlichviele \(a_m\le a_n\) vorhanden sind, werden quasi-monoton genannt, und es ergibt sich z. B. der Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge \((a_n)\) gegen einen Grenzwert konvergiert, der größer ist als alle \(a_n\), ist die, daß die Folge quasi-monoton ist. Das allgemeine Problem läßt sich nicht ohne erhebliche Einschränkungen erledigen.