Theorems relating to the summability and convergence of slowly oscillating series. (Q1486152)

Cesàros Methode zur Summierung von Reihen \(\sum a_n\) ist nur dann anwendbar, wenn \(| a_n|<Kn^r\) für ein gewisses \(r\) ist, wenn also die \(a_n\) nicht zu stark wachsen. Die \(a_n\) dürfen aber andererseits auch nicht zu klein sein; denn \textit{Hardy} beweist den Satz: Wenn \(\vert na_n\vert <K\) und wenn \(\sum a_n\) summierbar ist, so ist \(\sum a_n\) sogar konvergent. Aus diesem sehr interessanten Satze folgt z. B. sofort, daß die Reihe \(\sum \frac{1}{n^{1+ti}}\) nicht nach der Cesàroschen Methode summierbar ist. Um auch diese Fälle zu umfassen, wird die Rieszsche \(\mu\)-Methode eingeführt, nach der \(\sum a_n\) summierbar heißt, wenn \[ \lim_{n=\infty} \frac{\mu_2s_1 + \mu_3s_3 + \ldots +\mu_{n+1}s_n} {\lambda_{n+1}} \] existiert, sobald \(\lambda_n =\mu_1 +\mu_2+ \ldots +\mu_n\) mit \(n\) gegen \(+\infty\) divergiert, während die positiven Zahlen \(\mu_n\) gegen 0 abnehmen. Für diese Methode gilt dann der analoge Satz: Wenn \(\sum a_n\) hiernach summierbar ist, und wenn \(\left\vert \frac{\lambda_na_n}{\mu_n} \right\vert <K\) bleibt, so ist \(\sum a_n\) sogar konvergent.