Theorems connected with Maclaurin's test for the convergence of series. (Q1486153)

Ist \(f(x)\) positiv und monoton abnehmend, so sind bekanntlich nach Maclaurin und Cauchy \(\sum^{\infty}f(x)\) und \(\int^{\infty}f(x)\,dx\) gleichzeitig konvergent oder divergent. Dies Kriterium ist schon von \textit{T. J. I'a. Bromwich} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 6, 327--338 (1908; JFM 39.0308.01)] erheblich verallgemeinert worden. \textit{Hardy} verallgemeinert und vereinfacht das Theorem weiter dahin, daß er zeigt: 1. Wenn \(f(x)\) eine für \(x\geqq 0\) stetige Ableitung besitzt, wenn \(\lim f(x)=0\) und wenn \(\int^{\infty}_0| f'(x)| \,dx\) konvergiert, so existiert auch \[ \lim_{X=\infty}\left\{\int^X_0 f(x)\,dx - \sum^X_1 f(n)\right\} \] und ist \[ =-\int^{\infty}_0 (x-[x])f'(x)\,dx. \] Hierdurch läßt sich z. B. leicht über die Konvergenz der Reihe \(\sum n^{-b}e^{in^a}\) entscheiden: sie konvergiert dann und nur dann, wenn \(a+b>1\) ist. Von diesem Satze werden nun, indem zu höheren Ableitungen übergegangen wird, weitere Verallgemeinerungen gegeben. Sodann wird die Methode auf den Vergleich von Reihen und Integralen übertragen, die im Cesàro-Rieszschen Sinne summierbar sind, und führt so zu dem Satze: 2. Genügt \(f(x)\) denselben Bedingungen wie bei 1., so sind \(\int^{\infty}f(x)\,dx\) und \(\sum^{\infty}f(n)\) gleichzeitig nach derselben Methode summierbar oder nicht; -- und von diesem Satze werden dann noch weitere Verallgemeinerungen gegeben.