On a method for the summation of series. (Q1486154)

Ist \(f (x)\) eine für \(x>n_0\) positive monoton abnehmende Funktion, so sind bekanntlich \[ \sum^{\infty}_{n=n_0}f(n)\;\text{und}\;\int^{\infty}_{n_0}f(x)dx \] gleichzeitig konvergent und divergent. Im ersteren Falle gibt das Integral zugleich einen approximativen Wert des Restes der Reihe. Verf. zeigt, wie sich durch speziellere, bei den in der Praxis auftretenden Reihen jedoch meist erfüllte Voraussetzungen die Summe der Reihe \(\sum f(n)\) durch eine Folge von rasch abnehmenden Integralwerten weiterhin approximieren läßt. Bei der Reihe \(\sum\,\frac{(-1)^n}{2n+1}\) führen z. B. schon 3 Schritte zu einem bis in die 5. Dezimale richtigen Summenwert.