Sur la valeur asymptotique d'une certaine somme. (Q1486161)

Auf Grund der schon früher publizierten interessanten Formel (s. F. d. M. 40, 220, 1909, JFM 40.0220.04): \[ \sum^n_{k=1}(kx-[kx])=\frac{n}{2}+\varepsilon_n, \] in der \(x\) eine irrationale Zahl bedeutet und \(\varepsilon_n\) mit \(1/n\) verschwindet, und auf Grund der etwas allgemeineren Formel \[ \sum^n_{k=1}\{kx+y-[kx+y]\}=\frac{n}{2}+\varepsilon_n', \] in der \(y\) eine beliebige reelle Zahl bedeutet, wird bewiesen: Ist \(r_k=kx-[kx]\) und \(l_n(a,b)\) die Anzahl der \(r_k(k=1,2,\dots,n)\), die der Bedingung \(0\leqq a\leqq r_k<b\leqq 1\) genügen, so ist \[ \lim_{n=\infty}\,\frac{1}{n}l_n(a,b)=b-a, \] was etwa bedeutet: Die Brüche \(r_k(k=1,2,\dots,\infty)\) verteilen sich gleichmäßig dicht auf das Intervall von 0 bis 1.