Note on the convergence of series of positive terms. (Q1486164)

1. Wenn \(\sum u_n\) divergiert, während \(u_n < K\), und Wenn \(f(x)\) eine stetige positive abnehmende Funktion von \(x\) ist, so ist \(\sum^{\infty}u_nf (s_n)\) konvergent oder divergent mit \(\int^{\infty} f(x)dx\), wo \(s_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\). 2. Wenn \(\sum u_n\) konvergiert, und wenn \(\varphi(x)\) eine stetige positive wachsende Funktion von \(x\) ist, so ist \(\sum^{\infty}u_n\varphi(r_{n-1}^{-1})\) konvergent oder divergent mit \(\int^{\infty}\varphi(x)x^{-2}dx\), wo \(r_n\) der Rest der Reihe nach den ersten \(n\) Gliedern ist.