\textit{Lebesgue}sche Konstanten und divergente \textit{Fourier}reihen. (Q1486180)

Die Arbeit enthält eine breitere Darstellung des Inhaltes zweier früheren Noten des Verf. (J. für Math. 137, 1-5; F. d. M. 40, 440, 1909, JFM 40.0440.01 und Pal. Rend. 28, 402-404; F. d. M. 40, 474, 1909, JFM 40.0474.03) und eine neue Darstellung gewisser \textit{Lebesgue}scher Resultate, denen einige andere hinzugefügt werden. Es sei \(M\) die Menge der Funktionen, die für \(0\leqq x\leqq 2\pi\) definiert, integrabel und, absolut genommen, \(\leqq 1\) sind. Es sei \(s_n(x)\) die \(n\)-te Partialsumme der \textit{Fourier}schen Entwicklung einer dieser Funktionen und \(\varrho_n(x)\) die obere Grenze von \(| s_n(x)|\) für die Funktionen der Menge. Dann wird gezeigt: 1. \(\varrho_n(x)\) ist für \(0\leqq x\leqq 2\pi\) konstant; dieser Wert \(\varrho_n\) wird als \(n\)-te \textit{Lebesgue}sche Konstante bezeichnet. Es ist \[ \varrho_n=\frac{2}{\pi}\,\int^{\frac{\pi}{2}}_0\,\frac{|\sin (2n+1)t|}{\sin t}dt. \] 2. Die obere Grenze \(\varrho_n\) wird für gewisse Funktionen der Menge erreicht. 3. Von einer gewissen Stelle an nehmen die \(\varrho_n\) beständig zu, und es ist asymptotisch \[ \varrho_n=\frac{4}{\pi^2}\,\log n+c_0+o(1), \] also speziell \(\lim \varrho_n=+\infty\). Es werden dann Funktionenfolgen \(\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots\) konstruiert, die die folgenden Eigenschaften besitzen: a) Alle \(\varrho\) gehören der Menge \(M\) an. b) Die Partialsummen der \textit{Fourier}-Entwicklungen einer jeden sind stets positiv. c) Die Maximalpartialsumme wächst mit \(n\) ins Unendliche. Mit Hülfe dieser Folgen werden sodann 4 in \((0\dots2\pi)\) beschränkte und stetige Funktionen konstruiert, deren \textit{Fourier}-Entwicklung für \(x=0\) divergiert. Auf Grund der vorangegangenen Darlegungen erweisen sich diese Reihen so durchsichtig, daß auch die Natur der Divergenz genau erkannt werden kann.