Über das Nichtverschwinden der \textit{Dirichlet}schen Reihen, welche komplexen Charakteren entsprechen. (Q1486184)

Der \textit{Dirichlet}sche Beweis des Satzes von der arithmetischen Progression beruht zum wesentlichen auf dem Nachweis, daß die im Titel genannten Reihen \(\sum\,\frac{\chi(n)}{n}\), deren Konvergenz leicht erkannt wird, einen von 0 verschiedenen Wert haben. \textit{Landau} gibt einen neuen, sehr kurzen Beweis dafür, falls \(\chi(n)\) ein komplexer Charakter ist. Es werden nur drei Charakterreihen multipliziert, während beim \textit{Dirichlet}schen Beweise alle \(\varphi(k)\) Reihen benutzt werden. In \S\,2 wird der Beweis dahin verschärft, daß eine untere Schranke für den Wert der Reihe resultiert. Es gibt eine absolute Konstante \(c\), so daß für alle komplexen Charaktere mod. \(k\) \[ \left|\sum\,\frac{\chi(n)}{n}\right|>\frac{c}{\log^5k} \] bleibt.