The application to Dirichlet's series of Borel's exponential method of summation. (Q1486188)

\textit{H. Bohr} [C. R. 148, 75--80 (1909; JFM 40.0313.01)] hat mit großem Erfolg die Cesàrosche Summationsmethode (durch arithmetische Mittel) auf die Dirichletschen Reihen angewendet. Hardy summiert dieselben Reihen nach der Borelschen Exponentialmethode und gelangt zu folgenden Sätzen: 1. Wenn \(\sum a_n\) summierbar ist, so ist es \(\sum a_nn^{-s}\) für alle \(\Re(s)>0\). 2. Das gleiche gilt für die absolute Summierbarkeit. Hierdurch ist die Existenz zweier Halbebenen \(\sigma>\alpha\) und \(\sigma>\beta\) \((\beta\geqq\alpha)\) nachgewiesen, in deren Innern die Reihe summierbar, bzw. absolut summierbar ist. Während in vielen Fällen die Borelsche Methode weiter trägt als die Cesàrosche, wird an der Reihe \(1^{-s}+0+\cdots+0-8^{-s}+0+\cdots+0+27^{-s}+\cdots\) (in der also \(a_n=(-1)^{k-1}\) für \(n=k^3\), sonst aber \(a_n=0\) ist) gezeigt, daß dies nicht allgemein gilt: diese Reihe ist sehr wohl nach Cesàro summierbar, nach Borel aber nur, wenn sie konvergiert. Weiterhin wird der Reihe \(D=\sum a_nn^{-s}\) die Potenzreihe \(P=\sum a_nx^n\) zugeordnet und gezeigt: 3. Wenn der Punkt \(+1\) im Innern des Summabilitäts-Polygons von \(P\) liegt, so ist \(D\) in der ganzen Ebene summierbar und stellt also dort eine ganze Funktion dar.