Über spezielle \textit{Dirichlet}sche Reihen und die \textit{Kronecker}sche Grenzformel. (Q1486193)

Durch Entwicklung der überall eindeutigen Funktion \[ F(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} e^{\alpha(\log x+2k\pi i+\beta)^2} \] in eine \textit{Laurent}sche Reihe, werden Thetarelationen erhalten. -- Durch ebensolche Entwicklung von \[ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} e^{w(\log x+2k\pi i)} \cdot [\log x+2k\pi i]^{-s} =\Phi(x,s,w) \] wird (bei geeigneter Beschränkung der Variablen) erhalten: \[ \frac{1}{\Gamma(s)}\,\sum_{\nu + w>0}\,\frac{x^{-\nu +w}}{(\nu +w)^{1-s}}. \] Hieraus werden Darstellungen der \textit{Hurwitz}schen \(\zeta\)-Funktionen und verwandter Funktionen erhalten, und endlich wird eine neue interessante Herleitung der \textit{Kronecker}schen Grenzformel bezüglich der Summe \(\sum (Ax^2+2Bxy+Cy^2)^{-s}\) gewonnen.