On a class of conditionally convergent infinite products. (Q1486209)

Als Beantwortung einer von \textit{Hardy} gestellten Aufgabe wird der folgende Satz bewiesen: \(\prod^{\infty}_{n=1} (1 + a_n e^{n\vartheta i}\)) ist (bedingt) konvergent, wenn \(\lim a_n = 0\) ist, und wenn \(\frac{\vartheta}{\pi}\) einer gewissen Klasse von Irrationalzahlen angehört, zu der speziell alle algebraischen Zahlen gehören. Es genügt nämlich, daß es eine feste Zahl \(q\) und eine nur von \(\frac{\vartheta}{\pi}=x\) abhängige Zahl \(h\) gibt, so daß für jeden rationalen Näherungsbruch \(r/m\) \[ \left| x-\frac{r}{m}\right| > \frac{h}{m^q} \] ist. Diese Klasse von Irrationalzahlen enthält bekanntlich alle algebraischen Zahlen.