Un peu de géométrie à propos de l'intégrale de Poisson. (Q1486258)

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem \textit{Poisson}schen Integral \[ (1)\quad \frac{1}{2\pi}\,\int^{2\pi}_0\,\frac{V_{\omega}(R^2-\varrho^2) d\omega}{R^2+\varrho^2 -2R\varrho \cos (\omega -\alpha )}. \] Hierin bezeichnen \(\varrho\) und \(\alpha\) die Polarkoordinaten eines Punktes im Innern des Kreises \(K\) vom Radius \(R\) um den Koordinatenursprung. Es werden verschiedene zum Teil bekannte Sätze abgeleitet. Insbesondere wird die Abschätzungsformel \[ (2)\quad | V_B-V_A| < \frac{2D}{\pi}\,\text{arc tang} \,\frac{Rd}{\sqrt{R^2-\varrho^2}\sqrt{R^2-\varrho^2_1}} \] bewiesen. In (2) bezeichnen \(A\) und \(B\) zwei beliebige Punkte im Innern von \(K,\varrho\) und \(\varrho_1\) ihre Entfernungen vom Koordinatenursprung, \(d\) die Länge \(AB\), \(V_A\) und \(V_B\) die Werte des Integrals in \(A\) und \(B\), schließlich \(D\) die Schwankung von \(V_{\omega}\) auf dem Kreisumfange. Setzt man \(\varrho_1= 0\), so erhält man die \textit{Schwarz}sche Beziehung \[ | V_A-V_0| < \frac{2D}{\pi}\,\text{arc sin}\frac{\varrho}{R}. \] Die Untersuchungsmethode ist durchweg geometrisch.