Notes on some points in the integral calculus. XXVII. Oscillating cases of \textit{Dirichlet}'s integral (continued). (Q1486269)

In dem ersten Teile der Abhandlung ermittelt der Verf. den Wert der Integrale: \[ \begin{aligned} & \int^{\infty}_0 \sin u \sin \left( \frac{\beta^2}{u} \right) \frac{du}{u^{1-\nu}} = \frac{\pi \beta^{\nu}}{4\sin \frac 12\,\nu\pi} \{ I^{\nu}(2\beta )-I^{-\nu}(2\beta ) -e^{-\frac 12\,\nu\pi i}I^{\nu}(2i\beta )+e^{\frac 12\,\nu\pi i}I^{-\nu}(2i\beta )\},\\ & \int^{\infty}_0 \cos u \cos \left( \frac{\beta^2}{u} \right) \frac{du}{u^{1-\nu}} = \frac{\pi \beta^{\nu}}{4\sin \frac 12\nu\pi}\,\{ -I^{\nu}(2\beta )+I^{-\nu}(2\beta ) -e^{-\frac 12\,\nu\pi i}I^{\nu}(2i\beta )+e^{\frac 12\,\nu\pi i}I^{-\nu}(2i\beta )\}. \end{aligned} \] Das erste Integral ist konvergent für \(- 2 < \nu < 2\), das zweite für \(- 1 < \nu <1\). Mit Hülfe dieser Formeln wird dann bewiesen: \[ \int^{\xi}_0 \sin \left( \frac{m}{x} \right) \sin \lambda x\,\frac{dx}{x^{1+t}} \sim \frac 12 \sqrt{\pi} m^{-\frac 12\,t-\frac{1}{4}} \lambda^{\frac 12\,t-\frac {1}{4}} \sin (2\sqrt{\lambda m} -\frac{1}{4}\pi). \] Ist also \(f (x) = x^{-t} \sin (m/x)\), so strebt das \textit{Dirichlet}sche Integral \[ I(\lambda ) = \int^{\xi}_0 f(x)\,\frac{\sin \lambda x}{x}dx \] der Null zu, wenn \(\lambda \to \infty\), falls \(t < \frac 12\), oszilliert mit endlicher Amplitude, wenn \(t = \frac 12\), mit unendlicher, wenn \(t < \frac 12\). Am Schlusse gibt der Verf. Berichtigungen zur Note XXIV (F. d. M. 40, 339, 1909, JFM 40.0339.03).