A class of definite integrals. (Q1486270)

In dem Falle \(s = \nu = \frac 12\) werden die beiden ersten Formeln des vorstehenden Referates unabhängig von den \textit{Bessel}schen Funktionen \(I^{\nu}\), lassen sich nämlich durch die niederen Transzendenten ausdrücken: \[ \begin{matrix} \int^{\infty}_0 \sin x \sin \left( \frac{\beta^2}{x} \right) \frac{dx}{\sqrt{x}}&=\frac 12 \sqrt{\frac 12\,\pi} (e^{-2\beta}- \cos 2\beta +\sin 2\beta ), \\ \int^{\infty}_0 \cos x \cos \left( \frac{\beta^2}{x} \right) \frac{dx}{\sqrt{x}}&=\frac 12 \sqrt{\frac 12\,\pi} (e^{-2\beta}+ \cos 2\beta -\sin 2\beta ). \end{matrix} \] Hieraus leitet der Verf. durch Differentiation nach \(\beta\) und geeignete Kombination eine Reihe zum Teil bekannter bestimmter Integrale ab.