Notes on some points in the integral calculus. XXVIII. A conditionally convergent double integral. (Q1486271)

Der Verf. findet \[ \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} \frac{e^{(lx+my)i}dxdy}{k+(ax+by)i} = \frac{2\pi \text{sgn} \Delta}{(am-bl)i}e^{(lx_0+my_0)i}, \] wo \(k=\kappa +\kappa' i,\;a=\alpha +\alpha' +i,\;b=\beta +\beta' i,\;\Delta =\alpha \beta' -\alpha' \beta ,\;\Delta x_0=-(\kappa \beta +\kappa' \beta' ),\;\Delta y_0=(\kappa \alpha +\kappa' \alpha')\). Für \(\Delta = 0\) divergiert das Integral. Ein allgemeines Integral ist \[ \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} \frac{\Phi (lx+my)dxdy}{k+(ax+by)i} = \frac{2\pi \text{sgn}\Delta}{am-bl}\,\Phi (lx_0+my_0). \] Andere Fälle sind in den früheren Veröffentlichungen des Verf. enthalten.