Notes on some points in the integral calculus. XXIX. Two convergence theorems. (Q1486272)

I. Man nehme an, daß (1) \(\varphi\) eine Funktion von \(x\) ist, die eine stetige Ableitung besitzt, (2) \(\varphi\) positiv ist und gleichzeitig mit \(x\) stetig dem Unendlichen zustrebt, (3) \(f\) eine Funktion von \(x\) ist, die eine integrable Ableitung besitzt und absolut integrabel in jedem endlichen Intervall, (4) \(f\) der Null zustrebt, wenn \(x \to \infty\), (6) das Integral \(\int^{\infty}_a \varphi (x) f' (x) dx\) konvergent ist. Dann ist das Integral \(\int^{\infty}_a \varphi' (x) f (x) dx\) konvergent und kleiner als das erste Integral. II. Man nehme an, daß (1) \(\varphi\) positiv ist und stetig der Null zustrebt, wenn \(x \to \infty\), (2) die Bedingungen (1), (3), (5) des ersten Satzes erfüllt sind, dann ist das zweite Integral konvergent und \[ \int^{\infty}_a | \varphi'(x)| | f(x)| dx \leqq \int^{\infty}_a \varphi (x) | f'(x)| dx + \varphi (a) | f(a)|. \]