Notes on some points in the integral calculus. XXX. A theorem concerning summable integrals. (Q1486273)

Es sei \(f (x)\) integrierbar und zwar absolut integrierbar durch jedes endliche Intervall, ferner \[ f_1(x)= \int^x_a f(t)dt,\;f_2(x)=\int^x_a f_1(t)dt, \dots ,f_k(x)=\left( \int^x_a dt \right)^k f(t), \] dann sagt der Verf., das Integral \[ (1)\quad \int^{\infty}_a f(x)dx \] sei summierbar \((r, x)\) zur Summe \(s\), wenn \[ (2)\quad r! f_{r+1}(x)/x^r \to s \] mit \(x \to \infty\), oder als Formel: \[ (2')\quad \int^x_a \left( 1-\frac{t}{x}\right)^r f(t)dt \to s. \] Das in Rede stehende Theorem lautet: Das Integral (1) sei 1. summierbar \((r, x)\), 2. \(\varphi (x)\) habe eine Ableitung \(\varphi^{(r+1)} (x)\), die integrierbar und absolut integrierbar in jedem endlichen Intervalle ist, 3. das Integral \(\int^{\infty}_a x^r | \varphi^{(r+1)}(x)| dx\) sei konvergent, \(\varphi (x) \to 0\), wenn \(x\to \infty\); dann ist das Integral \[ (3) \quad \int^{\infty}_a f(x)\varphi (x)dx \] summierbar \((r, x)\), und seine Summe ist gleich dem Werte des absolut konvergenten Integrales: \[ (4)\quad (-1)^{r+1} \int^{\infty}_a f_{r+1}(x) \varphi^{r+1}(x)dx. \]