Sur la définition de l'aire d'une surface courbe. (Q1486282)

Es sei \(\Sigma\) eine durch die Gleichungen \[ x=f(u,v),\;y=\varphi (u,v),\;z=\psi (u,v) \] erklärte Fläche. Über die Funktionen \(f, \varphi ,\psi\) werden folgende Voraussetzungen gemacht. Sie sind in einem im Endlichen der Ebene \((u, v)\) gelegenen Gebiete \(R\) nebst ihren Ableitungen erster Ordnung stetig. Die drei Funktionaldeterminanten \[ \frac{D(y,z)}{D(u,v)},\;\frac{D(z,x)}{D(u,v)},\;\frac{D(x,y)}{D(u,v)} \] verschwinden in keinem Punkte von \(R\) gleichzeitig. Es wird bewiesen, daß \(\Sigma\) in eine endliche Anzahl von Stücken \(\sigma_1, \sigma_2, \dots , \sigma_n\) zerlegt werden kann, so daß, wenn man \(\sigma_i\) \((i = 1, \dots ,n)\) auf irgendeine seiner Tangentialebenen projiziert, die Projektion die Ebene nirgends doppelt bedeckt.