Sur les points singuliers d'une équation différentielle. (Q1486302)

Gegenstand der vorliegenden Abhandlung ist das folgende Problem: Wenn eine Differentialgleichung \[ (1)\quad Y(x,y)dy+X(x,y)dx = 0 \] gegeben ist, worin, wenn \(X_i (x, y)\) und \(Y_i (x, y)\) homogene Polynome sind, deren Grad ihr Index angibt, \[ \begin{matrix} Y(x,y)& = Y_n(x,y)& + Y_{n+1}(x,y)& + \cdots , \\ X(x,y)& = X_n(x,y)& + X_{n+1}(x,y)& + \cdots \end{matrix} \] ist, zu erkennen, ob der singuläre Punkt \(x = 0\), \(y = 0\) ein algebraische singulärer Punkt ist. Für \(n = 1\) ist die Lösung dieser Frage in fast allen Fällen bekannt, da das allgemeine Integral von (1) durch eine Relation von der Form \[ (2)\quad (ax+by+\cdots )(a'x+b'y+\cdots )^\lambda=C \] gegeben ist. Für \(n > 1\) bietet aber die Lösung des Problems verschiedene Schwierigkeiten dar und zwar aus folgenden Gründen: 1) Man kennt im allgemeinen keine Relation (wie für \(n = 1\)), welche das allgemeine Integral von (1) für Werte von \(x\) und \(y\) in der Nähe von 0 darstellt; 2) es gibt eventuell Lösungen \(y (x)\) derart, daß \(y/x\) gegen keine endliche oder unendliche Grenze konvergiert, wenn \(x\) und \(y\) gleichzeitig in 0 einrücken. Um das gestellte Problem behandeln zu können, wurde Verf. dazu geführt, die Untersuchung gewisser Kategorien von Lösungen der Gleichung (1) und gewisser Formen, die man dem allgemeinen Integral dieser Gleichung zuweilen geben kann, genauer zu präzisieren. Diese schon in einer früheren Arbeit des Verf. (Palermo Rend. 27, 337-373, 1909) aufgestellten Integralformen sind die folgenden: \[ \begin{matrix} (3) \quad&x^{\lambda_0}[1+A(x,y)] \prod_{i=1}^q (y+\varphi_i)^{\lambda_i}=C, \\ (4) \quad&x[1+xB_1+x^2B_2+\cdots ]\prod^p_{i=1} (t+a_i)^{\mu_i} =C; \end{matrix} \] darin ist \(t = y/x\); \(p\) und \(q\) sind ganze Zahlen, \(a_i, \lambda_0, \lambda_i, \mu_i\) Konstanten, die \(\varphi_i\) holomorphe, für \(x = 0\) verschwindende Funktionen von \(x, A (x, y)\) eine holomorphe, für \(x = 0\), \(y = 0\) verschwindende Funktion von \(x\) und \(y\), endlich \(B_1, B_2, \dots\) rationale Funktionen von \(t\). In den fünf Teilen der vorliegenden Abhandlung werden folgende Fragen behandelt: I. Indem Verf. die Formen der Gleichung (1) präzisiert, welche man bei der Untersuchung der für \(x = 0\) verschwindenden algebroiden Lösungen \(y (x)\) erhält, zeigt er, daß in gewissen Fällen Lösungen von (1) existieren, die für \(x = 0\) zwar verschwinden, aber daselbst verschiedene transzendente Singularitäten aufweisen. II. Verf. untersucht die Eigenschaften der eine Relation von der Form (3) erfüllenden Funktionen \(y (x)\) für \(x = 0\); aus dieser Untersuchung ergibt sich die Unverträglichkeit dieser Integralform mit gewissen in I aufgetretenen Singularitäten. In III werden verschiedene auf die Form (3) des allgemeinen Integrals bezügliche Fragen behandelt: die Anzahl \(q\) der Faktoren \((y + \varphi_i)^{\lambda_i}\), die Wahl dieser Faktoren, die Konvergenz von \(A (x, y)\), der Fall, wo zwei Integrale von der Form (3) existieren, und der Fall, wo dies nicht möglich ist. IV. Verf. zeigt, daß in vielen Fällen ein Integral von der Form (3) existiert, wenn ein Integral von der Form (4) vorhanden ist; er untersucht die Fälle, wo dies unmöglich ist, und führt, um das erhaltene Resutat zu verallgemeinern, eine Zwischenform von (3) und (4) ein. V. Verf. stellt in allen Fällen notwendige Bedingungen dafür auf, daß \(x = 0\), \(y = 0\) ein algebraischer singulärer Punkt der Differentialgleichung (1) ist, und zeigt, daß in einer sehr großen Anzahl von Fällen die gefundenen Bedingungen auch hinreichend sind; die bei diesem Beweise notwendigen Einschränkungen haben ihr Analogon bereits im Falle \(n = 1\). (Vgl. das vorstehende Referat über die Arbeiten von \textit{Boutroux}).