Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen. (Q1486303)

Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, die Theorie der singulären Integralgleichungen, wie Verf. sie, auf die Untersuchungen von \textit{Hilbert} (Gött. Nachr. 1906, 157 ff. 4. Mitteilung) und \textit{Hellinger} (Diss. Gött. 1907 u. J. für Math. 136) gestützt, in Math. Ann. 66, 273 ff. entwickelt hat, für die Theorie der gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung nutzbar zu machen. Es handelt sich dabei um Differentialgleichungen, welche an dem einen Ende ihres reellen Integrationsintervalles eine Singularität von mehr oder minder kompliziertem Charakter aufweisen, und um die Aufstellung der aus solchen Differentialgleichungen entspringenden Entwicklungen willkürlicher Funktionen, wie sie in dem einfachsten Falle der Gleichung \(d^u/ds^2 = 0\) als \textit{Fourier}sche Reihe und \textit{Fourier}sches Integraltheorem seit langem bekannt sind. Nachdem \textit{Hilb} (Math. Ann. 66, 1 ff.) durch Ausführung eines ähnlichen Grenzüberganges, wie ihn \textit{Hilbert} in seiner vierten Mitteilung (l. c.) anwendet, zwei besondere Typen solcher singulären Differentialgleichungen erfolgreich behandelt hat, nimmt Verf. hier die gestellte Frage nach einer anderen Methode in allgemeinster Weise in Angriff, d. h. ohne irgendeine beschränkende Voraussetzung über die Natur der Singularität, welche die Differentialgleichung darbietet, zu machen. Im Kap. I wird durch eine besondere Anwendung des Imaginären diejenige Funktion aufgestellt, welche (als Ersatz der \textit{Green}schen Funktion) den Übergang von der Differential- zur Integralgleichung ermöglicht, und zugleich eine für das Folgende fundamentale Unterscheidung aller in Betracht kommenden Differentialgleichungen in zwei Typen, den ``Grenzkreis'' und den ``Grenzpunkt-Typus'', vorgenommen. Darauf werden in Kap. II und III diese beiden Typen, namentlich mit Rücksicht auf die zu ihnen gehörigen Reihenentwicklungen und Integraldarstellungen, gesondert untersucht. Zum Schluß endlich gibt Verf. eine Methode an, wie man bei der Diskussion spezieller Differentialgeichungen [nach Art der von \textit{Wirtinger} (Math. Ann. 48, 387) und \textit{Hilb} (l. c. Kap. II u. III) betrachteten] zu einer genaueren Kenntnis der Lage und Natur des Punkt- und Streckenspektrums gelangen kann. -- Als Intervall der Differentialgleichung wählt Verf. stets, indem er die singuläre Stelle ins Unendliche verlegt, \(0 \leqq s < \infty\). -- Einen Teil der Resultate dieser Arbeit hat Verf. bereits in Gött. Nachr. 1909, 37 ff., jedoch in weniger allgemeiner Form, veröffentlicht.