Über das Verhalten der Integrale linearer Differenzen- und Differentialgleichungen für große Werte der Veränderlichen. (Q1486353)

``In der linearen Differenzengleichung \[ (A)\quad y(x+m)+x^k P_1y(x+m-1) +x^{2k}p_2y(x+m-2)+ \cdots +x^{mk}P_my(x)=0 \] sei \(k\) eine positive oder negative (nicht notwendig ganze) Zahl einschließ lich Null und \[ P_i = a_i + \frac{a_i'}{x} + \frac{a^{\prime\prime}_i}{x^2} +\cdots \] eine Potenzreihe von \(1/x\), welche für große Werte von \(| x|\) konvergiert, oder eine Funktion von \(x\), welche für große reelle positive Werte von \(x\) durch die als divergent vorausgesetzte Potenzreihe asymptotisch dargestellt wird. Wenn die Wurzeln \(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\) der charakteristischen Gleichung \[ \alpha^m + a_1\alpha^{m-1} + \cdots + a_{m-1} \alpha + a_m=0 \] voneinander und von Null verschieden sind, so wird die Gleichung (A) durch \(m\) Reihen \[ S_i = \Gamma^k(x+1)\alpha_i^x x^{\varrho i} \left( 1+ \frac{A_{i_1}}{x} + \frac{A_{i_2}}{x^2} + \cdots \right) \quad (i=1,2,\dots ,m) \] formell befriedigt. Die Differenzengleichung \((A)\) besitzt \(m\) linear unabhängige Integrale \(y_1, \dots , y_m\), welche für große reelle positive Werte von \(x\) die asymptotischen Gleichungen \[ y_i \sim S_i \quad (i=1,2,\ldots ,m) \] befriedigen.'' Diesen Satz hat Verf. früher [Math. Ann. 53, 177--192 (1900; JFM 31.0344.03)] unter der beschränkenden Voraussetzung bewiesen, daß auch die absoluten Beträge der \(m\) Wurzeln \(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\) der charakteristischen Gleichung verschieden sind; dabei stützte er sich auf die Methode, welche \textit{Poincaré} [Am. J. Math. 7, 203--264; 213 ff., 1885) benutzt hat, um zu zeigen, daß im Falle \(k = 0\) der Grenzwert \(\lim_{x=\infty}\,\frac{y (x + 1)}{y(x)}\) im allgemeinen gleich \(\alpha_1\), ausnahmsweise gleich einer der Größen \(\alpha_2, \dots ,\alpha_m\) ist. Im ersten Abschnitt der vorliegenden, durch neuere Arbeiten über diesen Gegenstand veranlaßten Abhandlung (\S\S\,1-5) beweist Verf. den obigen Satz, ohne die absoluten Beträge von \(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\) als verschieden vorauszusetzen, wie dies durch seine frühere Beweismethode bedingt war. Er benutzt jetzt eine Methode sukzessiver Annäherungen, die sich bei der entsprechenden Untersuchung über lineare Differentialgleichungen (C. R. 17. Jan. 1898; Arch. der Math. u. Phys. (3) 4; J. für Math. 133) als besonders zweckmäßig erwiesen hat. Während Verf. in den genannten Arbeiten unter Zugrundelegung komplexer Werte der unabhängigen Veränderlichen sein Augenmerk auf das Verhalten der Integrale in der ganzen Umgebung der Stelle \(x = \infty\) richtete, kommen bei der gegenwärtigen Untersuchung der Integrale von Differenzengleichungen zunächst nur reelle positive (ganzzahlige) Werte der unabhängigen Veränderlichen in Betracht. Will man auch die Integrale linearer Differentialgleichungen nur für groß e positive Werte der unabhängigen Veränderlichen untersuchen, so kann man, wie im zweiten Abschnitt (\S\S\,6-9) gezeigt wird, die im ersten Abschnitt für Differenzengleichungen dargestellte Methode auf Differentialgleichungen übertragen und erhält so einen dem obigen analogen Satz. Im dritten Abschnitt (\S\S\,10-11) zeigt Verf., daß die mit der seinigen verwandte Methode von \textit{Dini} (Annali di Mat. (3) 2 u. 3, 1899) zur Integration linearer Differentialgleichungen sich so ausgestalten läßt, daß sie dieselben Ergebnisse liefert wie des Verf. Methode der sukzessiven Annäherungen. \textit{Ford} (Annali di Mat. (3) 13, 263-328, 1907) hat die Methode \textit{Dinis} auf Differenzengleichungen übertragen; auf die Beziehungen zwischen der vorliegenden Abhandlung und den Arbeiten von \textit{Ford} (l. c. u. American M. S. Trans. 10, 319-336, 1909), \textit{Perron} (Math. Ann. 66, 446-487; J. für Math. 136, 17-37, 1909) und \textit{Galbrun} (C. R. 5. April 1909) über lineare Differenzengleichungen (zu denen inzwischen noch weitere Arbeiten von \textit{Perron} und \textit{Galbrun} hinzugekommen sind) wird in \S\,12 hingewiesen.