Sur la représentation (asymptotique) des solutions d'une équation aux différences finies (linéaire) pour les grandes valeurs de la variable. (Q1486355)

Bekanntlich läßt sich die lineare Differenzengleichung \[ A_0f(x+k)+A_1f(x+k-1)+ \cdots +A_kf(x)=0, \tag{1} \] in der die \(A_i\) Polynome in \(x\) vom Grade \(p\) sind, durch die Transformation \(f (x) =\int \nu (z) z^{x-1} \,dz\) in die lineare Differentialgleichung \[ z^p R_0\,\frac{d^p\nu}{dz^p} + z^{p-1}R_1\,\frac{d^{p-1}\nu}{dz^{p-1}} + \cdots + R_p\nu =0 \tag{2} \] transformieren, worin \(R_i\) ein Polynom in \(z\) vom Grade \(\le k\) ist. Hieraus hat Verf. in zwei früheren Noten [C. R. Acad. Sci., Paris 148, 905--907 (1909); 149, 1046--1047 (1910; JFM 40.0386.02)] für die Lösungen von (1) asymptotische Darstellungen für große Werte von \(x\) in dem Falle abgeleitet, daß die Integrale von (2) sich regulär verhalten. In der ersten der vorliegenden Noten behandelt er den Fall, daß der Grad von \(R_0\) kleiner als \(k\) ist und alle Integrale von (2) in der Umgebung von \(z = infty\) durch Normalreihen erster Ordnung asymptotisch dargestellt werden können, in der zweiten den Fall, daß in der Umgebung einiger Wurzeln von \(R_0\) nicht sämtliche Integrale von (2) regulär sind (insbesondere den Fall einer Doppelwurzel).