Über die \textit{Bernoulli}schen Funktionen. (Q1486360)

Die Differenzengleichung \[ (1)\quad f_{\mu}(z+1)-f_{\mu}(z) = \mu z^{\mu -1} \] ist bisher hauptsächlich nur im Falle eines positiven ganzzahligen Index \(\mu\) untersucht worden, wo sie rationale Lösungen, die sogenannten \textit{Bernoulli}schen Polynome, zuläßt, die der Nebenbedingung \(f_{\mu} (1) = 0\) genügen; für negative ganzzahlige Indizes stimmen die Lösungen von (1) wesentlich mit den höheren Differentialquotienten von \(\log \Gamma (z)\) überein. Verf. zeigt nun in der vorliegenden Arbeit, daß die Gleichung (1) auch für ein beliebiges komplexes \(\mu\) stets Lösungen besitzt, und stellt eine bestimmte Lösung auf, die eine analytische Funktion des Index darstellt und für ein positives ganzzahliges \(\mu\) in das \(\mu\)-te \textit{Bernoulli}sche Polynom übergeht; diese partikularen Lösungen nennt Verf. ``\textit{Bernoulli}sche Funktionen'' und bezeichnet sie mit \(\varphi (z)\); für sie gilt allgemein die Gleichung \(\varphi_{\mu} (1) = 0\). Die Gleichung (1) drückt keine eindeutige Beziehung zwischen den beiden Funktionswerten linker Hand aus. Um dies zu erreichen, wird in der \(z\)-Ebene ein Schnitt von \(z = 0\) längs der reellen negativen Achse bis \(z = \infty\) geführt, wodurch nach Ausschluß der Ränder ein Bereich \(B\) entsteht. Durch die Festsetzung, daß \(\log z\) auf der reellen positiven Achse reell und innerhalb des Bereiches \(B\) stetig sein soll, wird erreicht, daß auch \(z^{\mu -1}\) in \(B\) überall eindeutig und stetig ist; ähnliches gilt für \((n+ z)^{\mu -1}\) (\(n\) ganze Zahl). Vor Aufstellung der Funktionen \(\varphi_{\mu} (z)\) leitet Verf. direkt aus der ``Funktionalgleichung'' (1) zukommen, Reihe von Eigenschaften ab, die den allgemeinen Lösungen von (1) zukommen, insbesondere den Ergänzungssatz und das Multiplikationstheorem sowie die Differentiations- und Integrationsformeln; dieselben werden dann später für \(\varphi_{\mu} (z)\) spezialisiert. Für \(\varphi_{\mu} (z)\) gibt Verf. Darstellungen durch eine Summe und ein Integral (für \({\mathfrak R}(\mu ) < 1\) und \(z\) innerhalb \(B\)), durch eine Potenzreihe (gültig für jedes \(\mu\), wenn \(| z| < 1\)) und durch eine \textit{Fourier}sche Reihe (für \({\mathfrak R}(\mu ) > 0\) und reelle \(z\) zwischen 0 und 1). Über den analytischen Charakter der Funktion \(\varphi_{\mu} (z)\) ergibt sich schließ lich folgendes: Die allgemeine \textit{Bernoulli}sche Funktion \(\varphi_{\mu} (z)\) der beiden unabhängigen komplexen Veränderlichen \(z\) und \(\mu\) ist, falls \(z\) auf den Bereich \(B\) beschränkt wird, eine ganze transzendente Funktion von \(\mu\). Als Funktion von \(z\) weist \(\varphi_{\mu}(z)\) ein erheblich verwickelteres Verhalten auf, indem nicht nur \(z = 0\), sondern auch alle negativen ganzen Zahlen im allgemeinen Verzweigungsstellen bilden und der Bereich \(B\) durchaus nicht den Existenzbereich von \(\varphi_{\mu} (z)\) erschöpft. Die Frage nach den analytischen Fortsetzungen von \(\varphi_{\mu} (z)\) über den Bereich \(B\) hinaus bleibt noch zu erledigen übrig.