Zur Theorie der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen. (Q1486378)

Die Arbeit enthält die folgenden getrennten Resultate. 1. Man kann jede beschränkte quadratische Form von unendlichvielen Variabeln durch orthogonale Transformation in eine finite Form überführen, d. h. eine solche, deren Koeffizientenschema in jeder Zeile und in jeder Kolonne nur endlichviele von Null verschiedene Größen enthält, ebenso jede beschränkte Bilinearform durch eine und dieselbe orthogonale Transformation ihrer beiden Reihen von Veränderlichen in eine zeilenfinite oder auch in eine kolonnenfinite Form. 2. Nennt man eine quadratische Form vom Typus \[ a_1x_1^2 + a_2x^2_2 + \cdots -2b_1x_1x_2 - 2b_2x_2x_3- \cdots \] eine \textit{Jacobi}sche, so kann man jede reelle quadratische Form orthogonal in eine solche transformieren, die die Summe endlichvieler oder unendlichvieler \textit{Jacobi}scher Formen von getrennten Reihen von Veränderlichen ist. 3. Es gibt \textit{Jacobi}sche Formen, deren Spektrum aus zwei getrennten Strecken besteht. Die \textit{Jacobi}schen Formen und ihr Zusammenhang mit der Kettenbruchtheorie (\textit{Heine, Stieltjes}) werden genauer studiert. 4. Ist \(f (x)\) eine beschränkte, bis auf endlichviele Sprungstellen stetige Funktion und \(a_n = \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_0 f (x) \cos nx dx,\;a_{pq}= a_{q-p}=a_{qp}\), so ist die quadratische Form von unendlichvielen Veränderlichen \(\sum a_{pq}x_px_q\) (\(L\)-Form) beschränkt, und der Wertvorrat der Funktion \(f (x)\) ist ihr Spektrum. Man kann den Satz auch auf den Fall ausdehnen, daß \(f(x)\) nur beschränkt und nebst seinem Quadrat im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrabel ist. 5. Es gibt \(L\)-Formen, deren Spektrum aus mehreren getrennten Strecken oder auch aus mehreren einzelnen Punkten besteht. Das gemeinsame Endziel dieser Sätze ist es, plausibel zu machen, daß sowohl die \textit{Jacobi}schen Formen, als auch die \(L\)-Formen, wenn man neben den symmetrischen auch noch die \textit{Hermite}schen \(L\)-Formen hinzunimmt, geeignet sind, Normalformen für alle quadratischen Formen mit einfachem Spektrum abzugeben. Daneben treten zwei andere Anwendungen, zu denen der Verf. durch eine Untersuchung von \textit{Carathéodory} die Veranlassung erhalten hat (vgl. Palermo Rend. 32, 191-192 und 193-217, 1911): Ist \(a_0 + 2a_1 \cos \varphi + 2a_2 \cos 2\varphi +\cdots\) die \textit{Fourier}sche Reihe einer beschränkten, selbst nebst ihrem Quadrate im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrablen Funktion \(f (\varphi )\), so ist \(f (\varphi )\) dann und nur dann eine nirgends negative Funktion, wenn die sämtlichen Determinanten \[ D_n = \left| \begin{matrix} a_0\;&a_1\;&a_2 \cdots\;a_{n-1} \\ a_1\;&a_0\;&a_1 \cdots\;a_{n-2} \\ a_2\;&a_1\;&a_0 \cdots\;a_{n-3} \\ \hdotsfor3 \\ a_{n-1}\;&a_{n-2}\;&a_{n-3} \cdots a_0 \end{matrix} \right| \] nicht negativ sind. Sind allgemeiner \(f_n, w_n\) die Zahlen der Zeichenfolgen und der Zeichenwechsel in der Serie \(1, D_1, D_2, \dots , D_n\), so daß \(f_n+ w_n = n\) ist, so wird im Falle einer abbrechenden \textit{Fourier}schen Reihe bewiesen, daß \(f_n:w_n\) mit wachsendem \(n\) einen Limes hat, und daß dieser gleich dem Verhältnis der Gesamtlänge der Intervalle, in denen \(f (\varphi) > 0\) ist, zur Gesamtlänge derjenigen Intervalle ist, in denen \(f (\varphi) < 0\) ist.