Sopra le funzioni permutabili. (Q1486384)

Das Problem ist die Bestimmung aller Kerne \(\Phi(x, y)\) (\textit{Volterra}scher Integralgleichungen, für die also \(\Phi = 0\), wenn \(x > y\)), die mit einem gegebenen Kerne \(F(x, y)\) dieser Art vertauschbar sind, d. h. für die \[ \int^y_x F(x,\xi)\Phi(\xi,y)d\xi = \int^y_x \Phi(x,\xi)F(\xi,y)d\xi. \] Die Lösung gelingt nach Umformung dieser Bedingung in eine Differential-Integralgleichung. Es folgen einige allgemeine Theoreme über vertauschbare Kerne, von denen besonders hervorgehoben sei: Jeder (hinreichend oft differenzierbare) mit \(F\) vertauschbare Kern läßt sich als lineares Aggregat der Iterationen von \(F\) darstellen: \[ \Phi (x,y)=c_1F(x,y) + c_2F^{(2)}(x,y)+\cdots+c_nF^{(n)}(x,y)+ \int^y_x F^{(n)}(x,\xi )\psi (c,y)d\xi, \] wobei das in das Restglied eingehende \(\psi\) mit \(F\) vertauschbar ist; eventuell ergibt das mit wachsendem \(n\) eine konvergente Reihe für \(\Phi\). Den Schluß bildet die Behandlung der mit \(F =\) konst. vertauschbaren Kerne.