Équations différentielles et équations intégrales. (Q1486407)

Die Lösung des linearen Differentialgleichungssystems \[ \frac{dz_i}{dt}- A_{i1}z_1- \cdots -A_{in}z_n=B_i(t) \quad (i=1,2,\dots ,n) \] hat bekanntlich die Form \[ z_k=D_k(t) + \int^t_{t_0} \sum^n_{i=1} B_i(\alpha )\varphi_{ki}(\alpha ,t)d\alpha \quad (k=1,2,\dots ,n), \] wo \(D_i (i)\) die Lösung des entsprechenden homogenen Problems \((B_i (t) \equiv 0)\) ist, und \(\varphi_{ki} (\alpha ,t)\) gegebene, die Bedingungen \[ \varphi_{ii}(\alpha ,\alpha )=1,\;\varphi_{ki}(\alpha ,\alpha )=0 \quad (k \neq i) \] erfüllende Funktionen sind. Analog befriedigen die Lösungen \(x_i = g_i (t)\) des Systems \[ \frac{dx_i}{dt}-A_{i1}(t)x_1- \cdots -A_{in}(t)x_n=h_i(t,x_1,\dots ,x_n) \quad (i=1,2,\dots ,n) \] die folgenden Integralgleichungen \[ (1)\;G_k(t)=D_k(t)+ \int^{t_1}_{t_0} \sum^n_{i=1}\varphi_{ki}(t,\alpha )h_i(\alpha ,g_1(\alpha ),\dots ,g_n(\alpha ))d\alpha(k=1,2,\dots ,n), \] wo \(D_k(t)\) und \(\varphi_{ki}\) dieselbe Bedeutung wie oben haben. Verf. studiert nun das noch allgemeinere System von Integralgleichungen: \[ G_k(t)=D_k(t) + \int^t_{t_0} F_k(t,\alpha ,g_1(\alpha ),\dots ,g_n(\alpha )d\alpha \quad (k=1,2,\dots ,n) \] und setzt voraus, daß die Funktionen \(F_i\) beschränkt sind und in bezug auf \(g_1, g_2, \dots ,g_n\) die \textit{Lipschitz}sche Bedingung erfüllen. Das Problem selbst wird mit Hülfe der Methode der sukzessiven Approximationen gelöst, indem man \(G_k^{(0)} (t) = D_k (t)\) und \[ G_k^{(p+1)}(t) = D_k(t) + \int^t_{t_0} F_k(t,\alpha ,g_1^{(p)}( \alpha ),\dots ,g^p_n(\alpha))d\alpha \quad (k=1,2,\dots ,n) \] setzt. \textit{Cotton} beweist die Konvergenz dieses Verfahrens und damit die Existenz der Lösungen. Den Schluß bildet eine genauere Diskussion des spezielleren Falles der Integralgleichung (1), falls man als erste Approximation eine willkürliche Funktion nimmt, und eine genauere Fehlerabschätzung.