Equazioni integrali e valori eccezionali. (Q1486411)

Die vorliegende Abhandlung ist der von \textit{Hilbert} entworfenen Theorie der polaren Integralgleichungen gewidmet und gibt eine neue, von der Theorie der unendlichvielen Variablen unabhängige Begründung der \textit{Hilbert}schen Theoreme. Sei \(K (s, t)\) eine symmetrische Funktion und \(v (s)\) eine integrable Funktion von der Eigenschaft \(| v(s)| = 1\) (die Anzahl der Zeichenwechsel von \(v (s)\) kann auch unendlich groß sein -- im Gegensatz zu \textit{Hilbert}, wo jene Anzahl endlich angenommen wird). Es werden die folgenden 5 Bedingungen gemacht: \[ 1^{\circ})\quad \text{Ist}\;| \varphi (s)|\;\text{stetig, so ist es auch}\;\int^b_a K (s t) \varphi (s) ds. \] \[ 2^{\circ})\quad K^{(2)}(s, t)=\int^b_a K(s, \varrho ) K(\varrho ,t)d\varrho ,\;H_2(s, t) =\int^b_a K(s, \varrho ) v(\varrho )K(\varrho , t) d\varrho \] sind stetige Funktionen von \(s\) und \(t\). \[ 3^{\circ})\quad\text{Ist}\;u (s)\;\text{stetig, so ist}\;\int^t_a \int^b_a K (s, t) u (s) u (t) ds dt \geqq 0. \] \(4^{\circ})\) Zu jedem \(\varepsilon\) kann man ein \(\eta\) derart finden, daß, wie \(| t_1-t_2| <\eta\), stets \[ I(t_1t_2)=|\int^t_a \int^b_a K(\varrho ,\sigma )V(\varrho )V(\sigma )[K(\varrho ,t_1)-K(\varrho t_2)] \cdot [K(\sigma ,t_1)-K(\sigma ,t_2)] d\varrho d\sigma|<\eta. \] \(5^{\circ}\)) \(\int^b_a v (s) K (s, t) H_2 (s, t) ds\) ist eine stetige Funktion von \(t\). Man setze zur Abkürzung \[ L_1(u,v)= \int^b_a \int^b_a K(s,t)u(s)v(t)dsdt,\;L_2(u,v)= \int^b_a \int^b_a H_2(s,t)u(s)v(t)dsdt, \] \[ L_1(u)=L_1(u,n),\;L_2(u)=L_2(u,n) \] und bezeichne mit \(\lambda_1 =\frac{1}{l_1}\) den kleinsten Eigenwert der Integralgleichung \[ f(s)=\varphi (s)-\lambda \int^b_a K(s,t)\varphi (t)dt. \] Eine Reihe von Ungleichungen wird den Beweisen vorausgeschickt: \(u(s)\) und \(v (s)\) seien Funktionen, die nebst ihren Quadraten integrabel sind; es gelten sodann die folgenden Ungleichungen: Ist \(L_1 (u) \leqq m,\;L_1 (v) \leqq M\), so ist auch \[ | L_1(u,v)| \leqq \sqrt{mM};\;| L_2(u)| \leqq l_1m,\;| L_2(v)| \leqq l_1M;\;| L_2(u,v)| \leqq 3l_1 \sqrt{mM}; \] \[ \left| \int^b_a H_2(s,t)u(s)ds \right| \leqq \sqrt{Qm} \quad (Q=\text{konst.}). \] Ist \(| t_1-t_2|\leqq \eta\), so ist \[ \left| \int^b_a H_2(s,t_1)u(x)ds - \int^b_a H_2(s,t_2)u(s)ds \right| \leqq \sqrt{\varepsilon m}. \] Daraus schließt man, daß man aus jeder Funktionenfolge \(u_n\) von der Eigenschaft \(L (u_n) \leqq m\) (\(m =\) konst.) eine Teilfolge \(u_{i_n}\) derart herausgreifen kann, daß \(\lim_{n= \infty} \int^b_a H_2 (s, t) u_{i_n} (s) ds\) gleichmäßig existiert. Verf. beweist nun, daß Funktionen \(\varphi_i(t)\), die der Bedingung \[ \int^b_a K(s,t)V(s)\varphi_i (s)ds=\mu_i\varphi_i(t) \] genügen (\(\mu_i=\) konst.), ein polares Funktionensystem bilden, d. h. es ist \[ \begin{aligned} &\int^b_a v(s)\varphi_i(s)\varphi_k(s)ds=0 \qquad (i\neq k), \\ &\int^b_a v(s)\varphi^2_i(s)ds=\varepsilon_i \qquad (\varepsilon_i = \pm 1). \end{aligned} \] Daraus erschließt der Verf. die Konvergenz der Summe \(\sum_i | \mu_i|^2\) und, daß die Summe \[ \sum_i | \mu_i| \left\{ \int^b_a u\varphi_i ds \right\} \left\{ \int^b_a v\varphi_i ds \right\} \] ebenfalls konvergiert und dem Betrage nach kleiner als \(\frac 12[L_1 (u) + L_1 (v)]\) ausfällt. Die Existenz der Eigenwerte wird wie folgt bewiesen: Sei \(\mu\) die obere oder die untere Grenze des Integrals \(L_2 (u)\) bei der Nebenbedingung \(L_1 (u) = 1\). Man bestimme die Funktionenfolge \(u_n\) derart, daß \[ L_1(u_n)=1,\;\lim_{n=\infty} I_2(u_n)=\mu \quad (n=1,2,3,\dots ) \] ist. Aus \(u_n\) greife man eine Teilfolge heraus derart, daß der Limes \[ \psi (t)= \lim_{n=\infty} \int^b_a H_2(s,t)u_i(s)ds \] existiert. Diese Funktion \(\psi (t)\) erfüllt die Bedingung \[ \int^b_a K(s,t)V(s)\psi (s)ds=\mu \psi (t) \] und erweist sich demzufolge als eine Eigenfunktion des Kerns \(K (s, t) V (s)\). Entsprechend werden durch ein modifiziertes Minimalprinzip die weiteren Eigenfunktionen \(\varphi_1 (s), \varphi_2 (s), \varphi_3 (s), \dots\) gefunden \((\psi (s) = \varphi_1 (s))\). Jede Funktion \(f (s)\), die man auf die Form \(\int^b_a H_2(s,t) p(t) dt\) bringen kann (\(p (t)\) ist samt seinem Quadrat integrabel vorausgesetzt), ist in eine gleichmäßig konvergente Reihe von der Form \(\sum c_i \varphi_i (s)\) entwickelbar; wobei gesetzt ist: \[ c_i=\varepsilon_i \int^b_a f(s)\varphi_i(s)V(s)ds. \] Schließlich wird nach der Methode von \textit{Schmidt} die inhomogene Integralgleichung \[ f(s)=\varphi (s)-\lambda \int^b_a H_2(s,t)\varphi (t)V(t)dt \] untersucht und ihre lösende Funktion \(G (s, t)\) gefunden, die der Relation \[ H_2(r,s)=G(r,s)-\lambda \int^b_aH_2(s,t)G(r,t)V(t)dt \] genügt. Man findet \[ G(r,s)=H_2(r,s)+ \lambda \sum_{(i)} \varepsilon_i \mu^4_i \frac{\varphi_i(s)\varphi_i(r)}{1-\lambda \mu^2_i}. \] Aus dieser Partialbruchzerlegung läßt sich die vorgelegte Integralgleichung nach bekannter Art diskutieren.