Theorie der Elementarteiler linearer Integralgleichungen. (Q1486419)

``Die von \textit{Fredholm} begründete Theorie der linearen Integralgleichungen ist bisher vorzugsweise im Falle einer symmetrischen Kernfunktion fortgebildet worden. In der ersten Mitteilung seiner ``Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen'' hat \textit{Hilbert} überdies zunächst noch die vereinfachende Voraussetzung eingeführt, daß die Eigenwerte einfache Nullstellen der \textit{Fredholm}schen ganzen transzenden Funktion seien. Während diese Voraussetzung in \textit{Hilberts} Abhandlung durch Stetigkeitsbetrachtungen nachträglich wieder beseitigt wird, hat \textit{Erhard Schmidt} in seiner Inauguraldissertation auf direktem Wege gezeigt, daß die gewonnenen Ergebnisse auch im Falle mehrfacher Eigenwerte bestehen bleiben. Dieser Erweiterung entspricht in der Theorie der Funktionen einer endlichen Anzahl von Variabeln die wohlbekannte Tatsache, daß eine reelle quadratische Form stets durch orthogonale Transformation in ein Aggregat von Quadraten übergeführt werden kann, weil die Elementarteiler unter allen Umständen linear sind. Hingegen liegen ganz andere Verhältnisse vor, wenn man die Voraussetzung der Symmetrie oder der Realität der Kernfunktion aufgibt. Zu einem vollen Einblick in das System der zu den Eigenwerten gehörigen Eigenfunktionen erweist es sich alsdann als notwendig, die \textit{Weierstraß}sche Theorie der Elementarteiler auf bilineare Formen mit unendlich vielen Variabeln zu übertragen, eine Aufgabe, welche in der vorliegenden Arbeit für Integralgleichungen gestellt und gelöst wird. Die dabei angewendete Methode ist in der Hauptsache dieselbe, die ich einer früheren Arbeit zur Behandlung des analogen algebraischen Problems dargelegt habe (F. d. M. 27, 80, 1896, JFM 27.0080.01). Sie besteht darin, daß nicht bloß lineare Integralgleichungen, sondern auch lineare Integralkongruenzen für einen beliebigen, auch zusammengesetzten Modul untersucht werden und das volle System ihrer Lösungen aufgestellt wird. In der Tat ist für eine derartige Integralkongruenz nicht mehr der Rang, sondern das System der Elementarteiler maßgebend, und das volle System der Eigenfunktionen wird durch diejenigen Kongruenzen geliefert, für welche sich primitive Lösungen einstellen. Bei dieser Methode entfallen die Konvergenzschwierigkeiten, die sich bei dem Versuche einer Übertragung des \textit{Weierstraß}schen Verfahrens der Partialbruchzerlegung durch den Übergang von rationalen zu transzendenten ganzen Funktionen mit Notwendigkeit einstellen müssen. Mit dem bezeichneten Problem steht ein anderes in innigem Zusammenhange, das am Schlusse der Arbeit in Angriff genommen wird und späterhin noch weiter fortgeführt werden soll. Bei allen bisherigen Untersuchungen ist die Wahrnehmung gemacht worden, daß das System der Eigenfunktionen, dessen Bestimmung eine der wichtigsten Aufgaben der Theorie ist, in Wahrheit nicht bloß zu einer einzigen Kernfunktion, sondern zu einer ganzen Klasse solcher Funktionen gehört. So benutzt z. B. \textit{Kneser} in seiner Abhandlung über die Reihenentwicklungen der durch lineare Differentialgleichungen gegebenen Funktionen für den Fall der Kugelfunktionen eine andere Kernfunktion als \textit{Hilbert} in seiner zweiten Mitteilung; aber das System der Eigenfunktionen (das sind in diesem Falle die \textit{Legendre}schen Polynome) ist natürlich bei beiden Annahmen dasselbe. Ebenso basiert die Methode von \textit{Schmidt} geradezu auf dem Umstande, daß von vornherein neben der gegebenen Kernfunktion auch das System ihrer symbolischen Potenzen in Betracht gezogen und so durch ein der \textit{Gräffe}schen Methode der Gleichungsauflösung nachgebildetes Verfahren die Existenz der Eigenwerte auch ohne Benutzung der \textit{Fredholm}schen Funktion sichergestellt werden kann. Von diesen Überlegungen ausgehend, betrachte ich hier den ganzen Körper von Kernfunktionen, der aus einer von ihnen durch Iteration, Multiplikation mit Konstanten und Addition erhalten werden kann, und zeige daß beim Übergange von einer Kernfunktion zu einer andern das System der Eigenfunktionen (von einem Ausnahmefalle abgesehen) unverändert bleibt, während die Eigenwerte eine ganz analoge \textit{Tschirnhaus}-Transformation wie die Kerne erleiden. In einer nachfolgenden Arbeit werde ich darlegen, daß auf diesem Wege auch die hier noch bei Seite gelassene Frage nach der Konvergenz der auftretenden Reihenentwicklungen in einfacher Weise entschieden werden kann.'' \S\,1. Reziproke Funktionensysteme. \S\,2. Das Multiplikationstheorem für Integraldeterminanten. \S\,3. Die \textit{Fredholm}sche Funktion und die adjungierten Formen eines Kernes. \S\,4. Lineare Integralgleichungen. \S\,5. Lösung der linearen Integralkongruenz und Bestimmung der Eigenfunktionen im Falle eines einfachen Elementarteilers. \S\,6. Lösung der Integralkongruenzen für den Fall mehrerer Elementarteiler. \S\,7. Reduktion der Kernfunktion. \S\,8. Kernkörper.