Einführung in die Theorie der partiellen Differentialgleichungen. (Q1486422)

Wenn in einem engen Raume, wie ihn ein Band der \textit{Schubert}schen Sammlung gewährt, eine Einführung in das ausgedehnte Gebiet der partiellen Differentialgleichungen gegeben werden soll, so wird naturgemäß die Entscheidung der Frage, welche Gebiete auszuwählen sind, wenn dem Anfänger die bisher angewandten Methoden erläutert werden sollen, schwer zu beantworten sein und dem Geschmacke des Verf. überlassen bleiben müssen. Nach meiner Ansicht hätte der VIII. Abschnitt, dem Zwecke des vorliegenden Werkes entsprechend, auf Kosten anderer (die Bedeutung des VI. für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen ist nicht recht zu ersehen) ausführlicher sein können. Welche Gebiete Verf. ausgewählt hat, möge im folgenden angegeben werden. Die drei ersten Abschnitte schließen sich an \textit{Goursats} Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung an. Der erste Abschnitt behandelt die linearen Gleichungen erster Ordnung. Der Existenzbeweis für die Integrale einer beliebigen Gleichung wird nach \textit{Goursat} gegeben. Es folgen die linearen Gleichungen, Systeme linearer Gleichungen, die Integration eines vollständigen Systems und speziell die Methode von \textit{Mayer} für ein \textit{Jacobi}sches System; endlich vollständig integrierbare Systeme totaler Differentialgleichungen. Im zweiten Abschnitt werden die beliebigen Gleichungen erster Ordnung der Einfachheit wegen nur mit zwei unabhängigen Variablen behandelt. Es wird das Problem der durch eine gegebene Kurve gehenden Integralflächen (\textit{Cauchy}sches Problem), die Theorie der Charakteristiken und ihre geometrische Interpretation für lineare Gleichungen behandelt; die Theorie des singulären Integrals, das vollständige Integral, die Aufsuchung eines solchen und die Herleitung des allgemeinen Integrals aus einem vollständigen. Im dritten Abschnitt gibt es nach dem Existenzbeweis wieder das \textit{Cauchy}sche Problem für Gleichungen zweiter Ordnung und zwei unabhängige Variabeln, die Theorie der Charakteristiken und die durch sie hindurchgehenden Integralflächen; die Theorie der \textit{Monge-Ampère}schen Gleichungen, die des Zwischenintegrals und anderer integrabler Fälle; die Klassifikation der linearen Gleichungen zweiter Ordnung nach den Charakteristiken und die Kaskadenmethode von \textit{Laplace}. Der vierte Abschnitt ist den linearen Gleichungen vom hyperbolischen Typus (mit reellen Charakteristiken) und den hierher gehörigen Randwertaufgaben gewidmet. Hier wird die Methode der sukzessiven Annäherungen nach \textit{Picard} erläutert und die sogenannte \textit{Riemann}sche Integrationsmethode mit den von \textit{Riemann} gegebenen Beispielen. Da in der neueren Zeit die Theorie der Integralgleichungen bei Randwertaufgaben sich so fruchtbar erwiesen hat, hat Verf. den fünften Abschnitt der \textit{Fredholm}schen Gleichung \(\varphi (s) -\lambda \int^b_a K (s, t) \varphi (t) dt = 0\) gewidmet. Die Lösung derselben wird gegeben für den Fall, daß die Determinante des Kernes nicht verschwindet und daß sie verschwindet; die Eigenfunktionen werden eingeführt, und die Entwicklung eines Kerns nach Eigenfunktionen sowie die Entwicklung einer willkürlichen Funktion nach den Eigenfunktionen eines symmetrischen Kerns werden durchgeführt. In diesem und den beiden folgenden Abschnitten schließt sich Verf. an die \textit{Hilbert}sche Darstellung der Theorie an. Als Anwendungen der Theorie der Integralgleichungen folgen im sechsten Abschnitt Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, und im siebenten die Randwertaufgaben bei linearen Gleichungen vom elliptischen Typus (mit nicht reellen Charakteristiken), insbesondere für die Gleichung \(\Delta u= 0\). Der achte Abschnitt behandelt die Gleichungen der mathematischen Physik: die Wärmeleitungsgleichung vom parabolischen Typus (mit zusammenfallenden Charakteristiken), die Gleichung der schwingenden Saite sowohl nach der \textit{Riemann}schen Methode, wie mit Hülfe der \textit{Fourier}schen Reihen, die Telegraphengleichung (Saitenschwingung in einem widerstehenden Medium) und die Differentialgleichung der schwingenden Membran. In diesem Abschnitt schließt sich Verf. an \textit{Riemann-Weber}, die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik, an.