Über Kurvenscharen, die zu einem gegebenen Differentialausdrucke kovariant sind. (Q1486460)

Der Differentialausdruck: \(ds = w (x, y, y') dx\) werde als Bogenelement aufgefaßt. Ferner sei \(y= \varphi (x, x_0, y_0, y_0')\) die durch das Linienelement \(x_0,y_0,y_0'\) gehende Integralkurve der Differentialgleichung \(y'' = \vartheta (x, y, y')\), und die Bogenlänge dieser Kurve \(s = S (x, x_0, y_0, y_0') + s_0\) sei so gewählt, daß für \(x = x_0\) \(s= s_0\) wird. Bezieht sich dann die Operation \(\delta\) bloß auf \(x_0,y_0,y_0',s_0\), und denkt man sich \(x\) aus den Gleichungen: \(\delta y = 0,\;\delta s = 0\) eliminiert, so erhält man eine \textit{Monge}sche Gleichung: \[ (1)\quad \psi (x_0,y_0,y_0',dx_0,dy_0,dy_0',ds_0)=0, \] die den Unterschied \(ds_0\) der Bogenlängen der beiden durch \(x_0,y_0,y_0'\) und \(x_0+dx_0,\;y_0+dy_0,\;y_0'+dy_0'\) gehenden Integralkurven bestimmt, diese Bogenlängen gerechnet von den Punkten \(x_0,y_0\) und \(x_0+dx_0,\;y_0+dy_0\) bis zum Schnittpunkte beider Kurven. Es zeigt sich, daß (1) dann und nur dann eine \textit{Pfaff}sche Gleichung wird, wenn \(y'' = \vartheta\) die Differentialgleichung ist, die die Variationsrechnung für das Integral \(\int wdx\) liefert. Verlangt man, daß (1) eine \textit{Monge}sche Gleichung 2., 3., . . . Grades werde, so erhält man in jedem Falle \(\vartheta\) durch eine partielle Differentialgleichung definiert und gelangt so zu unendlich vielen zu dem Bogenelemente \(w dx\) kovarianten Differentialgleichungen. Die Differentialgleichung der Variationsrechnung ist nur das erste Glied dieser Kette von kovarianten Gleichungen. Ähnliche Betrachtungen kann man für ein Bogenelement: \[ ds=\{ \alpha (x,y,y',\dots ,y^{(n-1)})+\beta(x,y,y',\dots ,y^{(n-1)}y^{(n)} \}dx \] anstellen. Dabei ergibt sich, was neu zu sein scheint, daß die von der Variationsrechnung gelieferte Differentialgleichung auch im Falle \(\beta \neq 0\) zu einem Minimumsprobleme gehört; sie definiert nämlich unter allen Kurven, die zwei Integralkurven der Gleichung \(\alpha +\beta y^{(n)} =0\), also zwei Kurven von der Bogenlänge Null berühren, diejenigen, die zwischen den Berührungspunkten die kürzeste Bogenlänge haben.