Eine Verallgemeinerung der infinitesimalen Paralleltransformation. (Q1486461)

Ebenso wie ein quadratisches Bogenelement eine infinitesimale Paralleltransformation bestimmt (vgl. F. d. M. 32, 613, 1901, JFM 32.0613.01), gehört auch zu einem beliebigen Bogenelemente \(ds = w (x, y, y') dx\) eine allen Punkttransformationen gegenüber kovariante infinitesimale Berührungstransformation. Diese ordnet jeder Kurve die Enveloppe der Kreise von dem konstanten, unendlich kleinen Halbmesser \(\delta t\) zu, die man um die Punkte der Kurve beschreiben kann; ihre Gleichungen sind: \[ (1)\quad \left\{ \begin{matrix} x_1=x+&\frac{\delta t}{w(x,y,p)},\;y_1=y+\frac{p\delta t}{w(x,y,p)}, \\ &y_1'=y'-\frac{w_x+y'w_y}{ww_p}\,\delta t, \end{matrix}\right. \] wo noch \(p\) vermöge: \[ (2)\quad (y'-p)w_p + w(x,y,p)=0 \] durch \(x, y, y'\) auszudrücken ist. Bei einer beliebigen endlichen Berührungstransformation nimmt nun das Bogenelement \(ds = w dx\) die Form: \[ (3)\quad ds=(\alpha (x,y,y')+\beta (x,y,y')y'')dx \] an. Da andererseits die infinitesimale Berührungstransformation (1) offenbar auch allen Berührungstransformationen gegenüber zu dem Bogenelemente \(ds = w dx\) kovariant ist, so kann man sich die Aufgabe stellen, die neue Form, die (1) bei jener endlichen Berührungstransformation erhält, unmittelbar aus der neuen Form (3) des Bogenelementes herzuleiten. Diese Aufgabe wird hier gelöst, indem die Gleichungen (1) und (2) vom Standpunkte der Berührungstransformationen aus gedeutet werden; man übersieht dann sofort, wie man die entsprechenden Gleichungen für das Bogenelement (3) aufzustellen hat. Es kann freilich der Fall eintreten, daß die infinitesimale Berührungstransformation (1) bei Ausführung der endlichen Berührungstransformation verloren geht. Dann versagen die Formeln, die zur Ableitung der zu (3) gehörigen infinitesimalen Berührungstransformation dienen.