Sur la répresentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant à une condition de \textit{Lipschitz}. (Q1486549)

Jede Funktion \(f (x)\), die, wie man unbeschadet der Allgemeinheit annehmen darf, in dem Intervall \(x= (0 \dots 2\pi )\) der Bedingung von \textit{Lipschitz} genügt: \[ | f(x)+\delta )-f(x)| < \lambda \delta \quad (\delta <0), \] läßt sich bekanntlich für dieses Intervall in eine gleichmäßig konvergente \textit{Fourier}sche Reihe entwickeln. \textit{Lebesgue} beweist einen bemerkenswerten Satz, der erheblich weiter geht und Aufschluß über den Grad der Konvergenz gibt. Man ersetze die Reihe durch die Summe der ersten \(m + 1\) Glieder, wobei \(m\) eine gewisse von \(\lambda\) unabhängige Grenze übersteigen soll, und betrachte die absoluten Werte der Reste für \(x= (0 \dots 2\pi )\). Dann ist die obere Schranke dieser Werte sicher kleiner als \[ \frac{3\lambda \pi \text{ln} m}{m}. \] Aber noch mehr. Die Ordnung der oberen Schranke als Funktion von \(m\) für die Klasse der Funktionen \(f (x)\), die der \textit{Lipschitz}schen Bedingung genügen, kann zwar in besonderen Fällen kleiner sein als \(\frac{\text{ln} m}{m}\), es gibt aber, wie durch Aufstellung eines Beispiels gezeigt wird, Funktionen der Klasse, bei denen die Ordnung \(\frac{\text{ln} m}{m}\) wirklich erreicht wird. m Entsprechende Untersuchungen werden auch für die Funktionen \(f (x)\) angestellt; die der ``erweiterten \textit{Lipschitz}schen Bedingung'': \[ | f(x+\delta)-f(x)| <\lambda \delta^{\alpha}\quad (\delta >0,\;0<\alpha <1) \] oder der ``\textit{Lipschitz-Dini}schen Bedingung'': \[ \lim_{\delta =0} \left\{ \text{ln}\,\frac{vert (x+\delta )-f(x)|}{\delta} \right\} =0 \quad (\delta >0) \] genügen.