Über die \textit{Hilbert}sche Uniformisierungsmethode. (Q1486553)

Die Abhandlung knüpft an eine von \textit{Hilbert} in den Gött. Nachr. 1909 veröffentlichte Note ``Zur Theorie der konformen Abbildung'' an (F. d. M. 40, 732, 1909, JFM 40.0732.01). In dieser Note gibt \textit{Hilbert} einen Weg an, um mit Hülfe der von ihm begründeten Methode des \textit{Dirichlet}schen Prinzips auf der denkbar allgemeinsten endlich- oder unendlich-vielblättrigen \textit{Riemann}schen Fläche \(B\) die Existenz derjenigen Potentialfunktion \(U\) nachzuweisen, welche den Spannungszustand des aus einer Doppelquelle \(O\) auf \(B\) entspringenden stationären elektrischen Stromes darstellt, und deren Existenz vom Verf. selbst in seiner vierten Mitteilung über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Gött. Nachr. 1909, 324-361; F. d. M. 40, 468, 1909, JFM 40.0468.01) auf Grund der kombinatorischen Methode nachgewiesen wurde, indem dieselbe als Grenze \(\lim_{n=\infty} U_n\) der Näherungsfunktion \(U_n\) mit der Randbedingung ``normale Ableitung = Null'' konstruiert wurde. Die Funktion \(U\) wird in \(O\) unstetig wie \[ r^{-1} \cos \varrho = \frac{x-x_0}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \] und besitzt eine von \textit{Hilbert} angegebene charakteristische Minimaleigenschaft: es sei \(k_{\varrho}\) irgendeine Kreislinie auf \(B\) mit hinreichend kleinem Radius \(\varrho\) und dem Mittelpunkt \(O\). Durch \(k_{\varrho}\) wird \(B\) in zwei Stücke zerlegt, deren eines, den Punkt \(O\) nicht enthaltendes, mit \(B_{\varrho}\) bezeichnet werde. Ist dann \(w(x, y)\) irgendeine in \(B_{\varrho}\) eindeutig, stetig und stückweise analytisch erklärte, auf \(k_{\varrho}\) verschwindende reelle Funktion, für welche das \textit{Dirichlet}sche Integral \[ D_{B_{\varrho}}(w) \equiv \int\int_{B_{\varrho}} \left[ \left( \frac{\partial w}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial w}{\partial y} \right)^2 \right] dxdy \] einen endlichen Wert hat, so ist jedesmal \[ D_{B_{\varrho}} (U+w)>D_{B_{\varrho}}(U) \] oder, was auf dasselbe hinauskommt, es besteht die Variationsgleichung \[ \int\int_{B_{\varrho}} \left( \frac{\partial U}{\partial x}\,\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial U}{\partial y}\,\frac{\partial w}{\partial y} \right) dxdy=0. \] Ist der Bereich \(B\) schlichtartig, d. h. so beschaffen, daß er durch jeden inneren Rückkehrschnitt in getrennte Stücke zerfällt, so entsteht, entsprechend den Gedankengängen der allgemeinen \textit{Koebe}schen Abbildungstheorie, die Aufgabe, zu zeigen, daß \(U + i V\) eine umkehrbar eindeutige konforme Abbildung der, aligemein zu reden, unendlich-vielfach zusammenhängenden Fläche \(B\) auf einen schlichten, d. i. einblättrigen Bereich leistet, welcher von lauter zur Achse des Reellen parallelen, ganz im Endlichen liegenden geradlinigen Strecken (Schlitzen) begrenzt wird, deren einzelne sich auch auf einen Punkt reduzieren kann. Diese Abbildungseigenschaft soll als eine unmittelbare Folge der Minimaleigenschaft erkannt werden (Desideratum \textit{Hilbert}). Der Verf. führt diesen Nachweis der Reihe nach für die einfach, endlich-vielfach und unendlich-vielfach zusammenhängenden Bereiche, wobei die Eigenart und wunderbare Plastizität der Methode deutlich hervortritt.