Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. II. (Q1486555)

In der Abhandlung ``Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven I'' [Math. Ann. 67, 145--224 (1909; JFM 40.0470.01)] hat der Verf. alle diejenigen zu einer beliebig gegebenen algebraischen Kurve \((x, y)\) vom Geschlecht \(p \geqq 0\) gehörenden linear polymorphen uniformisierenden Variable \(t \equiv t(x, y)\) bestimmt, für welche die zugehörende lineare Substitutionsgruppe aus lauter reellen Substitutionen (positiver oder auch negativer Koeffizientendeterminante) gebildet wird. Bei einer solchen uniformisierenden Variable wird das vollständige Wertegebiet \(T\) der Variable \(t\) entweder (I. Typus) durch die obere Halbebene (Halbebene oberhalb der Achse des Reellen) oder (II. Typus) durch die ganze Ebene mit Ausschluß, allgemein zu reden, unendlich vieler Punkte auf der Achse des Reellen dargestellt, und es ist möglich, diese uniformisierenden Variablen in einer von jeder Zerschneidung der Riemannschen Fläche \(F\) der Funktion \(y(x)\) unabhängigen Weise zu charakterisieren. Der letzterwähnte Umstand bezeichnet den wesentlichsten Unterschied zwischen den uniformisierenden Variablen mit reeller Substitutionsgruppe und denen mit imaginärer Substitutionsgruppe. Diesem Umstande von vornherein Rechnung tragend, geht der Verf. in der vorliegenden Abhandlung von einer bestimmten Aufschneidung der Riemannschen Fläche \(F\) aus. Er denkt sich, wie dies in der Theorie der Abelschen Integrale geschieht, \(p\) die Fläche \(F\) nicht zerstückende Rückkehrschnittpaare mit je einem Kreuzungspunkte konstruiert und in der auf diese Weise in eine \(p\)-fach zusammenhängende Fläche verwandelten Fläche \(F\) noch \(q\) Einschnitte gemacht (entsprechend den Abelschen Integralen dritter Art), deren jeder zwei voneinander verschiedene Punkte der Fläche \(F\) verbindet und keinen anderen Einschnitt noch einen Rückkehrschnitt trifft. Die so aufgeschnittene \((p + q)\)-fach zusammenhängende Fläche \(F\) heiße \(F_0\). Es wird alsdann die Aufgabe gestellt, alle diejenigen linear polymorphen Uniformisierungstranszendenten \(t(x, y)\) zu bestimmen, welche in \(F_0\) eindeutig sind und, sofern sie überhaupt relativ zur Fläche \(F\) verzweigt sind, nur in den Endpunkten der Einschnitte Verzweigungspunkte haben. Der Fundamentalbereich für eine uniformisierende Variable der zu bestimmenden Klasse entsteht aus bekannten elementaren Fundamentalbereichen gemäß einem von Klein als natürliches organisches Leitprinzip zur Aufstellung seiner allgemeinen Fundamentaltheoreme eingeführten Prinzip der Ineinanderschiebung oder Komposition der Fundamentalbereiche. Das vollständige Wertegebiet einer uniformisierenden Variable der Klasse wird in jedem Falle von der ganzen Ebene mit Ausnahme von diskret liegenden Punkten gebildet, welche in ihrer Gesamtheit die Mächtigkeit des Kontinuums und den ``Inhalt'' Null haben. Als Spezialfall erscheint der Fall der Uniformisierung durch automorphe Funktionen des Schottkyschen Typus. Die vom Verf. allgemein eingeführte Methode der Überlagerungsfläche führt auf das von demselben in früheren Untersuchungen [Gött. Nachr. (1908--1910; JFM 39.0489.01, JFM 39.0489.02, JFM 40.0467.01, JFM 40.0468.01, JFM 41.0480.01); J. Reine Angew. Math. 138, 192--253 (1910; JFM 41.0482.01)] behandelte allgemeine Abbildungstheorem der schlichtartigen unendlich-vielfach zusammenhängenden Bereiche. Ohne sich für die vorliegende Untersuchung auf dieses allgemeine Abbildungstheorem zu berufen, (wie dies in der Note ``Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit imaginärer Substitutionsgruppe'' [Gött. Nachr. 1909, 68--76 (1909; JFM 40.0468.02)], geschah), führt der Verf. im vorliegenden Falle einen dem Falle speziell angepaßten neuen Konvergenzbeweis; dieser zeigt, daß die Konvergenz wie bei einer geometrischen Reihe stattfindet. Derselbe Konvergenzbeweis erstreckt sich auch auf das vom Verf. zur Behandlung der auf imaginäre Substitutionsgruppen führenden Uniformisierungsprobleme der algebraischen Kurven eingeschlagene iterierende Verfahren. Bei der Beweisführung spielt ein vom Verf. schon früher aufgestellter und bewiesener, in vorliegender Abhandlung neu begründeter Satz (``Verzerrungssatz'') die dominierende Rolle.