Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. Erster Teil: Das allgemeine Uniformisierungsprinzip. (Q1486556)

Der Verf. erörtert zunächst den allgemeinen Begriff der zu einer analytischen Kurve \((x, y)\), bzw. zu einer aligemeinen \textit{Riemann}schen Fläche \(F\) gehörenden uniformisierenden Variablen, welche relativ verzweigt oder unverzweigt sein kann. Von besonderem Interesse sind solche uniformisierenden Variablen, für welche die zugehörende Überlagerungsfläche \(\Phi\) relativ zu \(F\) regulär gebildet ist. Es wird gezeigt, daß man solche Flächen ohne sowie auch mit vorgegebener Relativverzweigung in der Tat stets zu jeder Fläche \(F\) bilden kann, auf mannigfache Weise. Die wichtigsten in Betracht kommenden Überlagerungsflächen sind die einfach zusammenhängenden, welche durch die Art ihrer relativen Verzweigung allein bereits völlig bestimmt erscheinen. Ihre Konstruktion gibt der Verf. jedoch erst in der Fortsetzungsabhandlung vom Jahre 1911 (J. für Math. 139, 252-291). Entsprechend dem Inhalte des allgemeinen Uniformisierungsprinzips handelt es sich nun vor allem um die Lösung des allgemeinen Abbildungsproblems der schlichtartigen Flächen. Diese Lösung gibt der Verf. im Prinzipe nach einer von ihm in der Abhandlung ``Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, 4. Mitteilung'' (Gött. Nachr. 1909) entwickelten Methode, welche auf der Konstruktion der Potentialfunktion \(U\) beruht, von welcher auch in dem Referate S. 479 ``Über die \textit{Hilbert}sche Uniformisierungsmethode'' die Rede ist. Die jetzige Darstellung unterscheidet sich von jener dadurch, daß der Verf. weder von dem allgemeinen Auswahlkonvergenzprinzip Gebrauch macht wie im Abschnitt A der genannten 4. Mitteilung, noch wie in Abschnitt \(B\) derselben Mitteilung von der Heranziehung nichtpotentialartiger Hülfsfunktionen, deren sich auch \textit{Hilbert} zur Formulierung seiner Minimaleigenschaft der Funktion \(U\) bediente. Dieses beides wird in folgender Weise erreicht. Der Bereich \(B\) wird als Grenze \(B = lim_{n=\infty} B_n\) dargestellt, wobei \(B_1 < B_2 < B_3 < \dots\) ist. Der in \(B_1\) enthaltene Unstetigkeitspunkt \(O\) auf \(B\) wird mit einer kleinen Kreislinie \(k_{\varrho}\) von dem Radius \(\varrho\) und \(O\) als Mittelpunkt umgeben. Mit \(K_{\varrho}\) werde die von \(k_{\varrho}\) begrenzte Kreisfläche auf \(B\), mit \(B_{\varrho}\) die Fläche \((B-K_{\varrho})\) bezeichnet, ferner mit \(B_{n,\varrho}\) die Fläche \((B_n - K_{\varrho})\). Nun wird zunächst, indem man längs \(k_{\varrho}\) eine eindeutig bestimmte Folge von Randwerten vorschreibt, diejenige Potentialfunktion \(u_n\) konstruiert, welche in \(B_{n,\varrho}\) eindeutig erklärt ist, auf \(k_{\varrho}\) die vorgeschriebenen Randwerte annimmt und auf den übrigen Begrenzungslinien von \(B_{n,\varrho}\), d. s. zugleich die Begrenzungslinien von \(B_n\), die Randbedingung ``normale Ableitung gleich Null'' erfüllt. Die Grenzfunktion \(u = \lim_{n=\infty} u_n\) ergibt sich als eine in \(B_{\varrho}\) eindeutige Potentialfunktion, welche auf \(k_{\varrho}\) die vorgeschriebenen Randwerte annimmt, und bei welcher an Stelle der Randbedingung: ``normale Ableitung gleich Null''; die allgemein ihren Sinn verlieren wird, eine zusammen mit der Randbedingung auf \(k_{\varrho}\) für die Funktion \(u\) völlig charakteristische Minimaleigenschaft tritt. Nachdem die erwähnte Aufgabe für den Bereich \(B_{\varrho}\) gelöst ist, wird die eigentlich gesuchte Funktion \(U\) nach den \textit{Schwarz-Neumann}schen Prinzipien der gürtelförmigen Verschmelzung gefunden, wobei es sich zeigt, daß man mit der erwähnten Minimaleigenschaft wie mit einer Randbedingung operieren kann. Diese Minimaleigenschaft überträgt sich dabei auf die Funktion \(U\) und liefert für diese die \textit{Hilbert}sche Minimaleigenschaft. Ist der Bereich \(B\) schlichtartig, so wird nun unter wesentlicher Benutzung der Minimaleigenschaft der Satz gefolgert, daß \(U + iV\) eine konforme Abbildung des Bereichs \(B\) auf einen schlichten Parallelschlitzbereich liefert, dessen sämtliche begrenzende Schlitze den Inhalt Null besitzen. Zum Schluß wird als Beispiel die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen des \textit{Schottky}schen Typus betrachtet und das Problem der konformen Abbildung eines \((p + 1)\)-fach zusammenhängenden schlichten Bereichs auf einen von \(p + 1\) Vollkreisen begrenzten Bereich.