Elliptische Funktionen. Zweiter Teil: Theorie der elliptischen Integrale. Umkehrproblem. (Q1486611)

(Siehe JFM 41.0508.01) Der Verf. wählt im ersten Bande als Zugang zu den elliptischen Funktionen den Weg über die einfachperiodischen Funktionen; von diesen handeln die ersten 90 Seiten: die unendlichen Produkte und Partialbruchreihen für die trigonometrischen Funktionen werden aufgestellt, die Funktionen des Periodenstreifens werden durch Grundfunktionen ausgedrückt, die Additionstheoreme sowie die algebraischen und Differentialgleichungen für die Funktionen des Streifens werden abgeleitet. Dieser ganze, schon an sich wichtige Stoff wird zugleich in einer Form dargeboten, durch die das Folgende, was den eigentlichen Zweck des Buches bildet, aufs beste vorbereitet wird. Vom 4. Kapitel ab werden die elliptischen Funktionen durch Reihen und Produkte definiert; auch auf bedingt konvergente Reihen und Produkte und ihre Wertveränderung bei anderer Wahl des Grenzüberganges wird eingegangen. Der Verf. gelangt so zuerst zu den \textit{Weierstraß}schen Funktionen. Die bekannten Probleme der Theorie sind dem Leser durch die erwähnten vorbereitenden Kapitel schon halb vertraut und werden in ausführlicher, leicht verständlicher Darstellung erledigt. Danach werden auch die \textit{Jacobi}schen Funktionen in den Kreis der Betrachtung gezogen und mit den \textit{Weierstraß}schen verknüpft. Für das erste Studium ist durch Fußnoten ein abgekürzter und erleichterter Gang der Lektüre bezeichnet. Der zweite Band beginnt mit den elliptischen und hyperelliptischen Integralen, die von vornherein für komplexe Veränderliche eingeführt werden; der Leser kann auch mit diesem zweiten Bande beginnen. Die drei Klassen der Integrale werden unterschieden und die \textit{Riemann}schen Flächen eingeführt. Dann wird die eindeutige Umkehrbarkeit der elliptischen Integrale erster Gattung bewiesen. Ein eigenes Kapitel ist dem Falle reeller Verzweigungspunkte gewidmet. Das \textit{Abel}sche Theorem bildet den Schlußstein des Lehrgebäudes; der Verf. gibt dafür einen Beweis, der sich abweichend von den jetzt üblichen Darstellungen mehr an die ursprünglichen Gedanken \textit{Abels} anschließt, und der weitere Beachtung verdient. Die Behandlungsweise ist durchweg eine streng analytische, wird aber sehr unterstützt durch viele ausdrucksvolle Figuren und paßt sich stets dem Verständnis der Studierenden an. Da von einem Lehrbuch der elliptischen Funktionen selbstverständlich nicht wesentliche Fortschritte der Wissenschaft erwartet werden dürfen, mußte sich diese Besprechung auf eine sehr kurze Angabe von Inhalt und Anordnung beschränken; doch sei wenigstens erwähnt, daß der Verf. an vielen Stellen (Umkehrproblem, \textit{Abel}sches Theorem usw.) die ausgetretenen Wege mit Glück verläßt. Auf Richtigkeit der Formeln und des Drucks wurde große Sorgfalt gelegt. Auch fühlt man aus dem Werke des Verf. dessen mathematischen Schönheitssinn heraus, der sich nicht nur in der Herausarbeitung der groß en Linien äußert, sondern auch in der Freude an der schönen Formel und in der stets bedachten Wahl des sprachlichen Ausdrucks.