Die Entwicklung der elliptischen Funktionen. (Q1486621)

Den Formeln von \textit{Jacobi} \[ \begin{aligned} (1) \quad &\int^u_0 \Delta^2 \text{am}udu=E(u)-E(0), \\ (2) \quad &E(u)=\frac{E}{K}+Z(u)\quad (E=E(K)), \\ (3) \quad &\int^u_0Z(u)du=\log \Theta (u)-\log \Theta (0) \end{aligned} \] werden die Formeln an die Seite gestellt: \[ \begin{aligned} (1')\quad &\int^u_0 \left\{ \left( \frac{\pi}{2K} \right)^2 \text{cotg}^2\frac{\pi u}{2K}- \text{cotg}^2\text{am}u \right\} du=G(u)-G(0), \\ (2')\quad &G(u)=\frac {G}{K}+Z_1(u) \quad (G=G(K)), \\ (3')\quad &\int^u_0Z_1(u)du= \log \Lambda (u)-\log \Lambda (0). \end{aligned} \] Alsdann ergibt sich als die Form, die der Entwicklung der elliptischen Funk tionen zukommen muß: \[ \begin{matrix} \sin \text{am}u= & \frac{2K}{\pi} \cdot & \sin \frac{\pi u}{2K} \cdot & \frac{\Theta (0)}{\Lambda (0)}\cdot \frac{\Lambda (u)}{\Theta (u)}, \\ \cos \text{am}u = & &\cos \frac{\pi u}{2K} \cdot & \frac{\Theta (0)}{\Lambda (K)} \cdot \frac{\Lambda (K-u)}{\Theta (u)}, \\ \Delta \text{am}u = & & & \frac{\Theta (0)}{\Lambda (K)} \cdot \frac{\Lambda (K-u)}{\Theta (u)},\end{matrix} \] und bei Einführung der ``reduzierten \textit{Jacobi}schen Funktionen'' \[ \Theta_1(u)=\frac{\Theta(u)}{\Theta(0)},\;\Lambda_1(u)=\frac{\Lambda (u)}{\Lambda (0)},\;\Theta_{1c}(u)=\frac{\Theta (K-u)}{\Theta (K)},\;\Delta_{1c}(u)=\frac{\Lambda (K-u)}{\Lambda (K)} \] erhält man für die elliptischen Funktionen die Darstellungen \[ \begin{matrix} \sin \text{am}u= & \frac{2K}{\pi} & \sin \frac{\pi u}{2K} \cdot & \frac{\Lambda_1(u)}{\Theta_1(u)}, \\ \cos \text{am}u= & & \cos \frac{\pi u}{2K} \cdot & \frac{\Lambda_{1c}(u)}{\Theta_1(u)}, \\ \Delta \text{am}u= & & & \frac{\Theta_{1c}(u)}{\Theta_1(u)}, \end{matrix} \]