Über die Differentialgleichungen der hyperelliptischen Perioden. (Q1486636)

Bei der Aufstellung der Differentialgleichungen für die Perioden der hyperelliptischen Integrale pflegt man die Verzweigungspunkte des zugrunde liegenden algebraischen Gebildes als die unabhängigen Veränderlichen einzuführen. Der Verf. zeigt, auf den Fall \(p = 2\) sich beschränkend, daß man durch die Wahl von acht Elementarperioden erster Gattung als primärer Veränderlicher größere Übersichtlichkeit erziele, daß sich aus dem dann entstehenden Systeme von Differentialgleichungen alle anderen Gestalten dieser leicht herleiten lassen, und daß in ihnen erweiterungsfähige Ansätze, einerseits auf die allgemeinen hypergeometrischen Funktionen mit fünf singulären Punkten, andererseits auf die Perioden der allgemeinen Thetafunktionen bei beliebigem \(p\), enthalten sind. Führt man die Differentiationsoperatoren: \[ \begin{aligned} \Gamma^{\xi}_x&= \sum^4_{i=1} (\xi_1\omega_{i1} +\xi_2\omega_{i2}) \left( x_1\frac{\partial}{\partial \omega_{i1}}+ x_2 \frac{\partial}{\partial \omega_{i2}} \right) , \\ \Delta_{xx}&= \sum^4_{i=1} (\eta_{i1}x_1 +\eta_{i2}x_2) \left( x_1\frac{\partial}{\partial \omega_{i1}}+ x_2 \frac{\partial}{\partial \omega_{i2}} \right) \end{aligned} \] ein, so nimmt das in Rede stehende System von Differentialgleichungen die Form an: \[ \Gamma^{\xi}_x (t\omega )=(tx) \xi_{\omega},\;\Delta_{xx}(t\omega )=(tx)\eta_x, \] \[ \Gamma^{\xi}_x( \eta_t)= -\xi_t\eta_x ,\;\Delta_{xx}(\eta_t)=-\frac{3}{4} k^2_x k_t k_{\omega}- \frac{3}{40} g(x\omega )(xt), \] wobei \(k_x^4\) und \(g\) die halbe vierte, bzw. die halbe sechste Überschiebung von \(f_x^6\) über sich selbst bedeutet.