Über die Kugelfunktionen des vierdimensionalen Raumes und doppeltbinäre Formen. (Q1486649)

Eine Kugelfunktion \(n\)-ter Ordnung des \(R_4\) ist ein in den Koordinaten \(x, y, z, u\) eines Punktes dieses Raumes homogenes Polynom \(n\)-ter Dimension, das der \textit{Laplace}schen Differentialgleichung: \[ \Delta = D^2_x + D^2_y + D^2_z + D^2_u =0 \] genügt. Man gelangt zu einer solchen Kugelfunktion durch das in \(\xi ,\eta\) lineare Polynom \[ (2)\quad \Xi = (x+iy) \xi \eta +(u-iz) \xi - (u+iz) \eta +x-iy; \] und zwar ist sowohl die \(n\)-te Potenz von \(\Xi\) eine Kugelfunktion \(n\)-ter Ordnung als auch die Funktion, die man erhält, wenn man in der Entwicklung von \(\Xi^n\) die Potenzen von \(\xi\) und \(\eta\) durch Konstanten ersetzt. Wird eine dieser Konstanten \(= 1\), während die übrigen verschwinden, so wird die Kugelfunktion als ``monomisch'' bezeichnet. Wird ferner \(\Xi\) homogen gemacht, indem \(\xi = xi_1 : \xi_2,\;\eta = \eta_1 : \eta_2\) gesetzt und der gemeinsame Nenner fortgelassen wird, so ist \(\Xi^n\) eine doppeltbinäre Form, und die zweiseitige volle Überschiebung einer beliebigen doppeltbinären Form \(a^n_{\xi} b^n_{\eta}\) über die Form \(\Xi^n\) ist eine Kugelfunktion \(K^{(n)}\) des \(R_4\). Die \((n + 1)^2\) Konstanten der Grundform \(a^n_{\xi} b^n_{\xi}\) sind für \(K^{(n)}\) wesentlich, und demgemäß ist \(K^{(n)}\) mit der allgemeinen Kugelfunktion \(H^{(n)}\) des \(R_4\) identisch. Drückt man die rechtwinkligen Koordinaten \(x, y, z, u\) durch Polarkoordinaten des \(R_4\) aus, so wird \(K^{(n)} = r^n\). \(\Phi^{(n)}\), und \(\Phi^{(n)}\) ist die allgemeine Flächenfunktion \(n\)-ter Ordnung des \(R_4\). Reell ist die Funktion \(K^{(n)}\) nur, wenn die Koeffizienten ihrer Grundform \(a^n_{\xi} b^n_{\eta}\) denselben Realitätsbedingungen genügen wie die Koeffizienten der Potenz \(\Xi^n\). Eine solche Grundform wird eine ``realisierende'' Form genannt. Speziell ist \(\Xi\) selbst eine bilineare realisierende Form. Es wird weiter gezeigt, wie die Invariantentheorie mit Hülfe ihrer Reihenentwicklungen und anderer Prozesse wesentliche Aufgaben über die Kugelfunktionen des \(R_4\) löst. Insbesondere wird mittels jener Theorie das Produkt zweier Kugelfunktionen nach solchen entwickelt, wobei die Koeffizienten genau die der \textit{Clebsch-Gordan}schen Reihenentwicklung sind. Ferner wird das über die Einheitskugel des \(R_4\) erstreckte Integral des Produktes zweier und dreier Kugelfunktionen durch die bilineare, bzw. trilineare Invariante der doppeltbinären Formen dieser Funktionen dargestellt. Auch der Zusammenhang mit der Quaternionentheorie wird erörtert. Durch \(n\) Quaternionen ist eine Kugelfunktion des \(R_4\) bestimmt, die von \((3n + 1)\) Konstanten abhängt, aber nicht die allgemeine Kugelfunktion.