Die semikonvergenten Reihen für die \textit{Bessel}schen Funktionen. (Q1486655)

Neben den bekannten semikonvergenten Reihen der \textit{Bessel}schen Funktionen für reelle positive Werte des Arguments sind in dem Lehrbuch von \textit{Gray} und \textit{Mathews} (s. F. d. M. 25, 836, 1893/94, JFM 25.0836.01) sowie in dem Handbuch von \textit{Nielsen} (F. d. M. 35, 476 ff., 1904, JFM 35.0476.03) ähnliche Reihen für rein imaginäre Werte des Arguments ohne Beweis angegeben. Da die Formeln von \textit{Nielsen} mit denen des erstgenannten Buches in Widerspruch stehen, nimmt \textit{Schafheitlin} die Aufgabe, semikonvergente Reihen für die \textit{Bessel}schen Funktionen mit rein imaginärem Argument aufzustellen, aufs neue in Angriff: Aus den in Nr. 10 seiner Theorie der \textit{Bessel}schen Funktionen (s. F. d. M. 39, 530, 1908, 39.0530.01) angegebenen Formeln leitet er folgende zwei Lösungen der \textit{Bessel}schen Differentialgleichung her: \[ \begin{multlined} z_{\nu} = (ix)^{\nu} e^x \int^{\infty}_0 (v-v^2)^{\nu -\frac 12} e^{-2xv}dv,\;\overline{z}_{\nu} =-(ix)^{\nu}e^x \int^{\infty}_1 (v-v^2)^{\nu -\frac 12} e^{-2xv}dv \\ =\frac{1}{2^{\nu}i^{\nu +1}}\,\frac{e^{-x}}{\sqrt{2x}} \int^{\infty}_0 \left( u+ \frac{u^2}{2x} \right)^{\nu -\frac 12} e^{-u}du \end{multlined} \] und zeigt zunächst, daß \[ z_{\nu} + \overline{z}_{\nu} = \frac{\Pi(\nu -\frac 12)}{2^{\nu}} \sqrt{\pi} I_{\nu} (ix),\;z_{\nu}-\overline{z}_{\nu} = \frac{\Pi(\nu -\frac 12)}{2^{\nu}} \sqrt{\pi} Y_{\nu} (i-x) \] ist. Aus der zweiten Integraldarstellung von \(\overline{z_{\nu}}\) ergibt sich, daß \(\overline{z_{\nu}}\) bei unbegrenzt wachsendem \(x\) gegen Null konvergiert, während \(z_{\nu}\) unendlich groß wird. Die Entwicklung von \(\left( 1+ \frac{u}{2x} \right)^{\nu -\frac 12}\) nach dem \textit{Taylor}schen Satze liefert sodann eine semikonvergente Reihe von \(\overline{z_{\nu}}\), und ebenso die Entwicklung von \((1-v)^{\nu -\frac 12}\) eine entsprechende Reihe für \(I_{\nu} (ix)\). Die Vergleichung der so vom Verf. gewonnenen Resultate mit denen seiner Vorgänger ergibt, daß die erste Formel von \textit{Gray-Mathews} anwendbar ist, falls \(\nu\) nicht die Hälfte einer ungeraden Zahl ist; ferner muß man die betreffende Reihe bei dem \(m\)-ten Gliede abbrechen, wo \(m < \nu -\frac{3}{2}\) ist. Damit die zweite Formel von \textit{Gray-Mathews} richtig ist, muß die von jenen Autoren mit \(K_{\nu}\) bezeichnete Funktion \[ K_{\nu} = \frac{\pi}{2}\,i^{nu +1}\cos(\nu\pi )[I_{\nu}(ix)-iY_{\nu}(ix)] \] sein; ferner muß die Reihe mit dem \(m\)-ten Gliede abbrechen, wo \(m > \nu -\frac{3}{2}\). Die Formeln von \textit{Nielsen}, die richtig sind, sobald \(\nu\) die Hälfte einer ungeraden Zahl ist, bedürfen für andere \(\nu\) einer Verbesserung, und zwar ist in \textit{Nielsens} erster Formel der erste Summand wegzulassen und in der zweiten Formel zu verdoppeln. Nebenbei gewinnt der Verf., indem er in den Formeln von Nr. 10 seiner Schrift das Argument \(x\) komplex annimmt, das Resultat: Sämtliche Lösungen der \textit{Bessel}schen Differentialgleichung konvergieren bei unbegrenzt wachsendem Argument gegen Null, wenn es reell ist oder wenigstens seine imaginäre Komponente endlich bleibt. Wird aber die reelle und die imaginäre Komponente des Arguments positiv unendlich groß, so werden auch die sämtlichen Lösungen unendlich groß mit Ausnahme von \(I_{\nu} (x) - iY_{\nu} (x)\). Entsprechendes gilt für \(I_{\nu} (x) + iY_{\nu} (x)\), wenn die reelle Komponente von \(x\) positiv, die imaginäre aber negativ unendlich groß wird.